近世代数第18讲.doc

第18讲 §5 子环、环的同态 （Subgroup and homomorphism of ring ） 本讲的教学目的和要求：本讲的内容出发点都是跟循群论的思路，环——子环的定义——子环的实例——环同态（尤其是环同态满射）——同态映射（满射）所能传递的代数性质和不能传递的代数性质。本讲中，要求能弄清和领会环同态与群同态的区别所在。 1、子环的定义，尤其是子整环，子除环和子域的定义。特别一提的是：一个环可能不是什么特殊环，但却是特殊子环。 2、扩环与子环之间在单位元变换性，零因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点，这是与群截然不同的地方。 4、环同态映射（既使是环同态满射）也有一些性质不能传递过去。 5、 环同构的应用——挖补定理。 一、子环的定义、例子和简单性质. 定义3.5.1. 设是一个环，而是的一个非空子集， 如果关于中的加法和乘法, 本身做成一个环,则称 为的一个子环,同时称为的扩环. 仔细分析一下，要成为的子环,则要满足环的三条: 为的子加群. 可将结合律传递给 中满足左，右分配律 于是得到子环的等价定义: 定义3.5.1.′. 设.如果满足. (1) 是的子加群；(2) 对乘法封闭. 那么,称是的子环. 若用数学语言来表达上定义则为：设. 如果满足. (1) , (或 且 ) (2) , 则称S是的子环。 设， 1、是的子整环 (ⅰ). (ⅱ)是可交换的 且 （ⅲ）中没有零因子. 2、是的子除环(ⅰ). (ⅱ) ,且 (或说) 3、是的子域既是的子整环也是的子除环. 例1. 对于环而言,零环和必是的子环——的 平凡子环. 例2. 偶数环2是整数环的子环(但不是子整环). 例3. 整系数多项式环是多项式环的子环 注意1: 环本身不是整环,但也许有子整环. 环本身不是除环(域)但可能有子除环(子域). 设为复数域上的二阶矩阵环,显然不 是整环，不是除环,更不是域( 不可交换,有零因子)但 我们发现: 是的子整环. 是的子域. 是的子除环. 例5. 为模6的剩余类环,而不仅是的子 环还是的一个子域.(其中,,且 ) 注意: 从例5中看到: 中的单位元,而中 的单位元.这表明子环中的单位元未必是扩环 (母环)的单位元. 与群的子群的相比，子环具有许多“怪”性质.汇总起 来,我们有 命题3.5.2 设是的子环,那么: ① 是有单位元的环, 未必是有单位元的环。 ② 不是有单位元的环, 可能是有单位元的环。 ③ 不能交换, 可能可交换. ④ 与都是有单位元的环，但它们的单位元未必 一致. ⑤ 是整环(除环、域), 未必是整环,(除环、域). ⑥不是整环(除环、域),但可能是整环(除环、域) 注意 从上结论可知,在环与子环之间，单位元,交换性，环的类 型都可能发生转变，而且以例5中知,零因子也会发生转变:在 中是零因子,但在S中是可逆元。 命题3.5.3 .设为任意环,令 则必是一个子环,叫做环的中心. 证明: . , . . 且 是的子环. (显然, 是R的交换子环)可知: 本身可 交换. 命题3.5.4 设和都是环R的子环 ,那么 是 和的子环.(证明略). 将命题3.5.4进行推广知: 设是的子环集, 那么 必是的子环. 二、环的同态 定义3.5.5 设是环到环的映射.如果满足: 则称是一个环同态映射.其中 如果是满射(单射、双射)，则称为环同态满射(环 同态单射,环同构)。特别是环同态满射时,则称与同 态,记为～. 注意：由上定义可知,一个环同态映射就是分别对环的加法和乘 法都满足“保持运算”的性质.利用这一点,可以自然地得到: 定理3.5.6（定理1,p98）. 设{}和都是代数系 统,如果是到的满射且有 . . 则当 {}是环时, 也必是环. 下面我们模仿群论的讨论方式:考察环同态能传递一些什 么代数性质. 定理3.5.7（定理2,p98） 设是环同态满射,那么: ① 若是中的零元必是的零元. 即 ② 若 是的单位元必是的单位元 即 . , ③ 负元的象是象的负元,即 ④ 若可交换也可交换. 证明: ① 是满射使 于是 确实是中零元. ② 使 而 , 同理, . ③ , 同理 , , . ④ ,则 使 故 是交换环. 显然环同态满射能传递许多代数性质