第四章-平差数学模型与最小二乘原理2008.doc

第四章 平差数学模型与最小二乘原理 在大地测量中，为了确定一些点的高程而建立的水准网，为了确定某些点的坐标而建立的平面控制网或3维测量网。前者包含点间的高差、点的高程元素，后者包含角度、边长、边的方位角以及点的2维、3维坐标等元素。这些元素都是几何量，以下通称这些网为几何模型。为了测定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，只需要知道其中部分元素的大小就可以了，其它元素可通过它们来确定。例如，如果为了测定平面三角形的形状，只需测量其中任意两个内角的大小就行了。为了确定平面三角形的大小和形状，只要知道其中任意的两边一角、两角一边或三边的大小就行了。 能够唯一确定一个几何模型所必要的元素，简称必要元素，必要元素的个数用来表示。当某个几何模型给定之后，就能够唯一地确定该模型的必要元素的个数及其观测量的类型，只与几何模型有关，与实际观测量无关。在具体的测量平差问题中，对一个几何模型的测量次数总是大于必要观测次数，不然无法确定该模型。即使在情况下，虽然能够确定该几何模型，但由于没有多余观测，就不可能发现测量中存在的误差，这在测量工作中是不容许的。为了能及时发现测量中的误差和错误，并提高测量成果的精度，就必须使，若令 式中，为对几何模型观测的总次数，是在假定测量无任何误差情况下，确定该模型所需的最小观测次数，即必要观测次数，就称为多余观测次数。多余观测次数在测量中又称为自由度。 本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差方法的数学模型，为以后各章节系统地学习各种平差理论打下基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差方法所遵循的原则。 §4.1 测量平差的数学模型 在日常生活和科学研究中，时常见到很多模型，一般主要有实物的模拟模型和数学模型。测量平差的数学模型包括：函数模型和随机模型。一个实际的平差问题，都要建立某种函数模型，函数模型是描述观测量与未知量之间的数学关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。事实上测量平差的目的，就是为了最优估计函数模型的未知量。 测量数据的函数模型一般为几何模型、物理模型、或几何与物理的综合模型。测量控制网，如水准网、测角网、测边网、边角网、重力网、GPS网等所建立的函数模型都属于几何模型。而与时间有关的，考虑速度、加速度、位移和应变等所描述观测量与未知量之间关系的模型，大多为物理模型。函数模型分为线性模型和非线性模型两类，测量平差通常是基于线性模型的，当函数模型为非线性函数时，总是将其用泰勒公式展开，并取其一次项化为线性形式。 一、条件平差法的函数模型 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 在具体测量问题中，实际观测次数，必要观测次数，则多余观测次数 ，那么可建立个条件方程，即： ， (4.1.1) 这里 ，， (4.1.2) 分别称为观测值向量，观测值的真值向量和真误差向量，它们满足如下关系 (4.1.3) 在测量平差中，一般把（4.1.1）式写成线性方程，即 (4.1.4) 或者 ， (4.1.5) 这里是行列的常系数矩阵，且是行满秩矩阵；是行1列的常向量。条件平差的自由度是多余观测数，即条件方程的个数。 在现实问题中，真值和真误差是不能够确定的。因此，只能通过某种平差原理（本书采用最小二乘原理）进行平差，求出真值和真误差的最佳估值和，称为平差值（也称为最或然向量值，为最或然改正值向量）。定义为 (4.1.6) 这样，条件平差的函数模型化为 (4.1.7) 或者 ， (4.1.8) 一般也称为条件方程的闭合差向量。 例题〔4.1.1〕：在图（4-1-1）所示的水准网中（箭头指向高端），设观测高差、、、。试列出该水准网的条件方程。 解答：由于 ，； 因此，可列出两个条件方程。设观测高差的最或然值为 、、、 则应有 代入（），则有 其中 写成标准形式 ，。 其中 ， 解算完毕。 例题〔4.1.2〕：如图（4-1-2），在三角形中，设有一点插入固定角的图形，其中、、为已知点，为未知点，设角度观测值为（）。试列出条件方程。 解答： 由图知，确定一个未知点，只需要两个观测角就够了，即必需观测有2个。现观测值总数为6个，故多余观测个数——即条件方程式个数为， 个 这4个条件方程式的具体形式为 （1）图形条件2个。即平面三角形三内角的最或然值之和应为180°，其条