2004年全国高中数学联合竞赛 天津初赛 含答案 .doc

二OO四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛） （9月17日上午9：00～11：00） 一、选择题（本题共5个小题，每小题6分满分30分） （1）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） （A）　　　　（B）　　　（C）　　　（D） （2）已知，，若，则与的大小关系是（　　） （A）　　　　（B）　　　（C） （D）不确定 （3）已知一条直线与双曲线（）的两支分别相交于、两点，为原点，当时，双曲线的中心到直线的距离等于（ ） （A）　　　（B）　　　　（C）　　　　（D） （4）已知为四面体的侧面内的一个动点，且点与顶点的距离等于点到底面的距离，那么在侧面内，动点的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（ ） （A）圆或椭圆　 （B）椭圆或双曲线 （C）双曲线或抛物线 （D）抛物线或椭圆 （5）已知集合是集合的子集，且对任意，都有，则集合中的元素最多有（ ） （A）67个　　　　（B）68个　　　　（C）69个　　　　　（D）70个 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分） （6）已知椭圆（），长轴的两个端点为、，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． （7）在中，，，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是 ． （8）已知集合，且，则集合、、所有可能的情况有 种． （9）已知，，是平面上三个不同的点，且满足关系式，则实数的取值范围是 ． （10）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 ． （11）已知都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则的值等于 ． 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （12）已知数列满足，，，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小． （13）已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）对任意的正数、，求证：． （14）将，，…，这个数未填入如图所示的正方形中的小方格内，每个小方格内填一个数，使每一行，每一列的各数之和各不相等且均能被正整数（）整除． （Ⅰ）求的所有可能的值； （Ⅱ）给出一种符合题意的具体填法（此填法适用于的所有可能值）． 二00四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛） 试题参考答案及评分标准 一、选择题（本题共5个小题，每小题6分满分30分） （1）D　　（2）A　　（3）A　　（4）D　　（5）A 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分） （6） （7）　（8）500　（9） （10）　（11）194 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分） （12）【解】令， 由题设，有，且…………5分 于是，即． ∴．　　　（※）　　　…………………………………10分 又，，则． ∴当的值最小时，应有，，且． 即，．　　　……………………………………… 15分 由（※）式，得 由于，且，解得， ∴当时，的值最小．　　…………………………………………… 20分 （13）【解】（Ⅰ）由书籍，根据韦达容不得有， ， ， ∴ 　　　　………………………………………5分 （Ⅱ）已知函数，∴ 而且对，，于是， ∴函数在上是增函数　　　……………………………………………10分 注意到对于任意的正数、 ， 即，同理．　　　　………………………15分 ∴，， ． 于是， ∴． 而， ∴．　　　……………………………………20分 （14）【解】（Ⅰ）设，（）分别是第行，第列各数的和， 由题意得，，其中，，是8个彼此不同的正整数， 因为，所以 得．　　　　　　　　　　　　　　　　……………………………………………10分 由是的倍数得是的倍数，即是的倍数． 即，又，，因此的可能值为或．　　　……………………15分 （Ⅱ）符合题意的一种具体填法如图所示． 　　　 …………………………………………20分 试题录入　天津市武清区大良中学　杨凤国 第 1 页 共 5 页