04 时间平均和各态历经性 1005.ppt

报考研究生－准备工作 确立职业发展规划 了解自己、确定目标 所需培养的素质和能力 系统分析、组织协调、沟通能力 选择学校和指导教师 培养方式、研究条件、研究方向 网页、师兄、面谈 准备面试 相关系数与相关时间 1、相关系数 2、相关时间 1、相关系数 协方差函数 但是依赖于两个量本身的大小； 相关系数 2、相关时间 对于许多过程 当 之间已不相关，因此工程上通常定出一时间 2、相关时间－举例 已知随机过程X(t)和Y(t)的协方差函数分别为 （1）比较两个过程的起伏程度 （2）比较 时两个过程的相关程度 （3）比较Y(t)在0和 的相关程度 2、相关时间－举例 第四讲：时间平均和各态历经性 主讲人：张有光 电 话办公室：新主楼F1018 背景知识 维纳：预测平滑和滤波 预测问题：设有零均值实平稳过程 ，现在的问题是要利用已知值 预测未来值 ，为常量，也即 选择 使得： 随机过程数字特征的重要性 均值、自相关函数 怎样获得？ 在这个例子中，只能获得飞机过去一段时间的飞行轨迹，也就是说能否用一个样本来获得平稳随机过程的均值和自相关函数？ 这就需要证明每个样本的时间均值等于该随机过程的均值！ 主要内容 一、时间均值与集平均基本概念 二、均值各态历经性定理 三、自相关函数各态历经性定理 四、估计均值和自相关函数的方法 一、时间均值与集平均基本概念 1、集平均 2、时间平均 3、时间平均和集平均的关系 4、各态历经性（遍历性）的概念 1、集平均的概念 集平均，又称统计平均，是指对一族样本进行的均值估计。 取集平均的方法需要的工作量大，处理方法复杂，在实际中不便操作。 2、时间平均的概念 由于我们观测的是随机过程，与时间有关，于是希望根据对单独一个样本函数进行较长时间的观测，来确定平稳随机过程的均值。这就是所谓的时间平均。 时间平均的数学定义 设x(t)是随机过程X(t)的一个样本函数，则称极限 时间相关函数 将 3、时间平均和集平均关系 4、各态历经性的定义——条件1 设X(t)是一平稳过程，若 条件2 若 各态历经性 条件1与条件2都满足的情况下，也就是X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性时，称过程X(t)是各态历经过程。 举例说明－回顾大数定律 贝努里大数定律 切比雪夫定律（独立同分布，均值和方差） 5、举例说明2. 3-1 随机相位余弦波 的时间平均 和 自相关函数 解： 三、均值各态历经性定理 1、均值各态历经性定理 2、均值各态历经性定理的证明 1、均值各态历经性定理 定理： 平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充分必要条件是： 定理条件的内涵 加权平均 随机序列各态历经性条件 说明： 贝努里大数定律 切比雪夫（独立同分布，均值和方差） 贝努里大数定律 设 是n次重复独立试验中事件A发生的次数，P是事件A在一次试验中发生的概率，则对任意的 ， 2、均值各态历经性定理的证明 分析： 依概率1成立 从例2.2-5类似方法，需要证明 其次，方差： 积分域进行如图的置换 均值各态历经性定理的证明 故： 均值各态历经性定理的证明 此条件等价为： 三、自相关函数各态历经性定理 定理 设X(t)是一个平稳随机过程，其子相关函数 具有各态历经性的充要条件是： 定理说明 令： 则： 例 2.3-2 设Y是均值为零、方差为 的随机变量，定义一个随机过程 ，则 的统计特性与t无关。因此是严格平稳随机过程。但是 不满足均值各态历经性条件，不是 例 2.3-3 随机电报 例 2.3-4 例 2.3-5－续上例 设 是 的一个代表性的样本函数， 分别是 的样本值。对于这个样本值。其均方的时间平均为： 四、估计均值和自相关函数的方法 1、均值和自相关函数的估计式 2、测算出均值和自相关函数的方法 1、均值和自相关函数的估计式 在实际应用中，通常只考虑定义在 上的平稳过程X(t)，则 均值和自相关函数的估计式 如果在实际测试中，只在时间区间[0,T]上进行，则有估计式： 本节课小结 一、基本概念 二、均值各态