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2011年中考数学第一轮复习:解直角三角形
第十四讲:解直角三角形
知识梳理
知识点1. 直角三角形中边与角的关系
重点:熟练掌握直角三角形中边与角的关系
难点:运用直角三角形中边与角的关系
中,∠C=90°
(1)边的关系:
(2)角的关系:
(3)边与角的关系:
sinA=cosB=, cosA=sinB=,tanA==, tanB=。
例1如图,在中,,,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
解题思路:运用直角三角形的边角关系,选D
例2.在A ABC中,已知C=90°,sinB=,则cosA的值是 ( )
A. B. . .[
1在Rt△ABC中,∠C=90°,a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )
A、 B、 C、 D、
2.在RtΔABC中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )
(A)a=csinA;a=bcotB;b=csinB;c= .
答案:1. B 2.D
知识点2.特殊角的三角函数值
重点:熟记特殊角的三角函数值
难点:熟练计算三角函数值
特殊角30°,45°,60°的三角函数值列表如下:
α sinα cosα tanα cotα 30° 45° 1 60° 例:计算:1.
解题思路: ,
原式
练习
1. 计算;
2.计算:
答案1.4 2.3
知识点3. 直角三角形的解法
重点:利用直角三角形的边角关系解直角三角形
难点:理解题意,灵活运用
直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据,因此,解直角三角形的关键是
正确选择直角三角形的边角关系式,使两个已知元素(其中至少有一个元素是边)和一个未知元素共处于这个关系式中,其四种类型的解法如下表:
一边一角[来XK] 解法.Com] 已知斜边和一个锐角A ①
②
③ 已知一条直角边和一个锐角A ①
②
③ 两边 已知斜边和一条直角边 ①
② 利用求A
③ 已知两条直角边 ①
② 利用,求A
③
例1如图,已知AC=1,求BD。
解题思路:将未知线段设为,通过列方程来解直角
三角形是常用的有效方法。
设BD=x,根据图形有AC=CD=1
BD+CD=AC??? ∴ ????∴
例2如图,已知中,∠B=45°,∠C=30°,BC=3+,求AB的长。
解题思路:解直角三角形中,需将已知角置于直角三角形中,故“构造直角三角形”是常见的作辅助线的方法,简单说就是“作高”。
解:作AD⊥BC于D? ??∵ ???∴ AD=BD
∴ ????设BD=AD=?
在中,??? ∴ 即
∵ ????∴ ????∴ ????∴
练习
1.在中,∠C=90°,,∠A-∠B=30°,试求的值。
?
2. 如图,在中,,,D为AC上一点,,DC=8,求AB的长。
答案1. 解:∵ ∠A+∠B=90°,∠A-∠B=30°?? ∴ ∠A=60°,∠B=30°
又 ∵ ????∴
∵ ???∴ ????∵ ????∴
∴
2. 解:∵ 在△DBC中,∠C=90°,∠BDC=45°?? ∴ BC=DC=8
在Rt△ABC中,?? ∴
?
知识点4. 解直角三角形与实际问题
重点:掌握仰角和俯角、坡度和坡角、方向角
难点:灵活运用解直角三角形
1.仰角和俯角:这两种角均为水平线与观测线所夹的角,当观测线在水平线上方时,夹角为“仰角”,当观测线在水平线下方时,夹角为“俯角”。
?2.坡度和坡角:如图所示
坡度
坡角为坡面与水平面的夹角
? 3. 方向角:
从南北方向线较近的一端起,到目标方向线的夹角,如图所示:射线OA为北偏东
60°,射线OB为南偏西30°,此外,东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。?
?
例1 如图,在某建筑物AC上,挂着“多彩云南”的宣传条幅BC,小明站在点F处,看条幅顶端B,测的仰角为30°,再往条幅方向前行20米到达点E处,看到条幅顶端B,测得仰角为60°,求宣传条幅BC的长,(小明的身高不计,结果精确到0.1米)
解题思路:运用仰角的概念和解直角三角形的知识
解:∵ ∠BFC=30°,∠BEC=60°,∠BCF=90°?? ∴ ∠EBF=∠EBC=30°
∴ BE-EF=20?? 在中,
答:宣传条幅BC的长是17.3米。
?
例2一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上,之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?
(参考数据:)
解题思路:运用方向角的概念和解直角三角形的知识
解:过C作AB的垂线,交直线AB于点D,得到与,设
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