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高等数学C 第一章 区间： 邻域： 函数 常见的几类函数 (2) 奇偶性 (4) 周期性 初等函数 2.反函数 3,复合函数 非初等函数举例: 内容小结 2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 . 指数函数 注： 并非所有函数都存在反函数，只有一一对应函数 才存在反函数。严格单调的函数必存在反函数。 在定义域 在 或 内存在反函数. 内没有反函数， 可确定出 因此函数 的反函数为 例 则 设有函数链 称为由①, ②确定的复合函数 , ① ② u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 : 可定义复合函数 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数: 例 分析下列复合函数的复合结构 (1) 第二层 最外层 最内层 (2) 最外层 第二层 第三层 最内层 例 设 是由函数 复合得到， 则 例 设 求 的定义域。 解: 由题得 因此得 即 或 所以复合函数的定义域为 4 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 . 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 称为初等函数 . 例如 , 可表为 故为初等函数. 所以幂指函数也为初等函数。 幂指函数： 由于 符号函数 当 x 0 当 x = 0 当 x 0 取整函数 当 * 目录 上页 下页 返回 结束 任课教师： 刘春丽 电 话： 电子邮件： liu.chunli@shufe.edu.cn 最终成绩： 考试成绩×70% + 平日成绩×30% 办公室 ： 红瓦楼729室 教材: 《微积分》上海财经大学出版社（上海财经大学应用数学系编）2007年7月 习题集: 《微积分习题集》上海财经大学出版社 参考教材: 《高等数学》上海财经大学出版社 基础内容 函数 极限 连续 函数与极限 第一节 函数 开区间 闭区间 有限区间与无穷区间 半开区间 点的 ? 邻域: 去心 ? 邻域 左邻域 : 右 邻域 : 其中, 称 为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 定义域 1. 变量与函数 定义1.2. 设数集 则称映射 为定义在 D 上的函数 , 记为 称为值域 自变量 因变量 (对应规则) (值域) (定义域) 函数相同： 函数的两个基本要素：定义域 和对应法则 。 定义域 和 对应法则 都相同。 例 求下列函数的定义域 例 判断下列函数以否相同 （1） （2） （3） 不同 不同 不同 函数图形: 平面点集 称为函数 的图形。 函数的表示方法： 2）表格法 3）图示法 1）解析法 1） 函数定义中，并未要求自变量改变时函数得知 函数 y =2 一定改变，因此即使所有的自变量都只对应一个函 数值也是可以的，即常值函数 y =C 。 定义域为 值域为 为常值函数, 2）在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 例：符号函数 符号函数的定义域是实数集，值域 {-1，0，1} 。 例：取整函数 [x]表示不超过 的最大整数，称为 的整数部分。 例： 设函数 且有区间 (1) 有界性 使 使 称 在 I 上有界. 称 为有界函数. 使 称 在 I 上有上界 使 称 在 I 上有下界 使 若对任意正数 M , 均存在 则称 函数的几种特性 无界. 例如 在定义域 注： 与 在 上有界： 上有界： 在定义域 上无界. 函数的有界性与所选的数集有关。 上无界， 在 上有界. 在 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 则当 必有 且有 （D关于原点对称） 偶函数的图形关于y轴对称 因为若 为偶函数， 则 所以若 在图形上， 轴的对称点 则它关于 奇函数的图形关于原点对称 因为若 为偶函数， 则 所以若 在图形上， 则它关于原点的对称点 (3) 单调性 称 为 I 上的 单调（或严格单调）增加函数 ; 若 （或 ） 称 为 I 上的 单调（或严格单调）减少函数 ; 若 （或 ） 例 解： 由于 的单调性 在 当 恒有 因此函数 (严格) 单调增加。 时， 判断函数 且 则称 为周期函数 , 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 ? 周期为 (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数