FXQ-Chapter-10能量原理-B.ppt

变分问题的直接解法 Chapter 10.6 静力可能内力场: 余势Vc＝0，则总余能为 CB段: BA段： 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 最小余能原理要求 由此解得 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 例 用最小余能原理求悬臂梁梁右端的挠度和转角。 问题：如何右端的边界条件，引入余势？ 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 例 用最小余能原理求矩形截面杆的自由扭转问题（扭矩和扭角关系）。 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 总余能表达式： 应力函数可取为： 对矩形截面杆可选： 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 作为近似，只取第一项近似： 根据最小余能原理，得里茨法的求解方程 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 由上述两式，最终可得 （比精确解大：1.4%） 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 关于误差的讨论： Ritz方法：假设位移的近似函数，求得的位移一般小于精确解。 0.5 0.2945 0.125 0.11937 精确解 近似解 误差（％） －4.5 －41 N=5时误差（％） －0.03 －8.1 例：悬臂梁的挠度问题 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 关于误差的讨论： Galerkin方法：假设应力的近似函数，求得的位移一般大于精确解。 例：悬臂梁的挠度问题 0.5 0.469 0.125 0.12603 精确解 近似解 误差 0.82% 6.2% 能量原理 Chapter 10.7 泛函与变分的基本概念 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法 可变边界条件，卡氏定理 可变边界条件卡氏定理 Chapter 10.7 载荷可变的情况 如果允许载荷发生虚变化，则可能功原理式对静力场取变分的结果为 这称为Castigliano方程或应力变分方程，它是余虚功原理的推广。 可变边界条件卡氏定理 Chapter 10.7 当实际载荷有虚变化时，系统总余能的虚变化等于在真实位移上载荷虚变化所做的功。 可变边界条件卡氏定理 Chapter 10.7 当实际载荷有虚变化时，系统总余能的虚变化等于在真实位移上载荷虚变化所做的功。 如果不允许载荷有虚变化，则卡氏定理退化为最小余能原理 ： 卡氏定理的变分形式 可变边界条件卡氏定理 Chapter 10.7 如果把外载荷表示成若干个广义力 Pi， 相应的广义位移记为 ?i，则由上式得到： 卡氏定理的导数形式：总余能对广义力的偏导数等于相应的广义位移。 可变边界条件卡氏定理 Chapter 10.7 若再采用线弹性材料，则Uc＝U，得 （克罗第-恩格塞定理） 卡氏第二定理 当位移边界固定或全部为力边界时，余势Vc＝0，总余能 ?c ＝Uc，则 可变边界条件卡氏定理 Chapter 10.7 例1 求线弹性材料的悬臂梁在自由端处的转角?。 应变能为 可变边界条件卡氏定理 Chapter 10.7 对 M0 求偏导，再令 M0＝0，得 其转动方向与 M0 相同。 可变边界条件卡氏定理 Chapter 10.7 边界位移可变的情况 拉格朗日变分方程(位移变分方程) 如果允许位移边界上的给定位移发生虚变化，则可能功原理对变形可能场取变分的结果为： 这是虚功原理的推广。 * * 冯 西 桥 清华大学工程力学系 2006.12.27 第十章 能量原理 Energy Methods 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 最小势能原理的直接解法 总势能 ? 是三个位移分量 ui 的泛函： 在位移边界上自变函数 ui 应满足约束条件： 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 最小势能原理的直接解法 里茨 (Ritz)法 迦辽金 (Galerkin)法 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 迦辽金法 (Galerkin) 基本思路： ? 寻找一组（n个）满足所有边界条件的容许函数。用这些容许函数的组合构造一个试函数 。 ? 用微分方程的加权余量格式得到近似解，不需要泛函。 ? 弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函，故可以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程。 根据结构、载荷和边界条件，选取尽可能合适的位移试验函数 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 Ritz 方法 写出弹性系统的总势能表达式 对总势能进行变分，得到关于待定系数的线性方程组 求解上述线性方程组 变分问题的直接解法 Chapter 10.6 例 用