NOIP基础算法--枚举、递推和递归汇.ppt

NOIP基础算法综合 重庆巴蜀中学 黄新军 一、枚举法的基本思想 枚举法的基本思想是根据提出的问题枚举所有可能状态，并用问题给定的条件检验哪些是需要的，哪些是不需要的。能使命题成立，即为其解。 枚举结构：循环+判断语句。 二、枚举法的条件: 虽然枚举法本质上属于有哪些信誉好的足球投注网站策略，但是它与后面讲的回溯法有所不同。因为适用枚举法求解的问题必须满足两个条件： ⑴可预先确定每个状态的元素个数n； ⑵状态元素a1，a2，…，an的可能值为一个连续的值域。 三、枚举法的框架结构 四、枚举法的优缺点 “直译”枚举：直接根据题意设定枚举对象、范围和约束条件。 注意认真审题，不要疏漏任何条件 例题1：砝码称重(noip1996) 【问题描述】设有1g、2g、3g、5g、10g、20g的砝码各若干枚（其总重=1000），求用这些砝码能称出不同的重量个数。 【文件输入】输入1g、2g、3g、5g、10g、20g的砝码个数。 【文件输出】输出能称出不同重量的个数。 【样例输入】1 1 0 0 0 0 【样例输出】3 【分析】根据输入的砝码信息，每种砝码可用的最大个数是确定的，而且每种砝码的个数是连续的，能取0到最大个数，所以符合枚举法的两个条件，可以使用枚举法。枚举时，重量可以由1g,2g,……,20g砝码中的任何一个或者多个构成，枚举对象可以确定为6种重量的砝码，范围为每种砝码的个数。判定时，只需判断这次得到的重量是新得到的，还是前一次已经得到的，即判重。由于重量=1000g，所以，可以开一个a[1001]的数组来判重。 例题2：火柴棒等式（NOIP2008） 【问题描述】给你n根火柴棍，你可以拼出多少个形如“A+B=C”的等式？等式中的A、B、C是用火柴棍拼出的整数（若该数非零，则最高位不能是0）。用火柴棍拼数字0-9的拼法如图所示： 注意： 1. 加号与等号各自需要两根火柴棍 2. 如果A≠B，则A+B=C与B+A=C视为不同的等式（A、B、C≥0） 3. n根火柴棍必须全部用上 【输入】输入文件matches.in共一行，又一个整数n（n≤24）。 【输出】输出文件matches.out共一行，表示能拼成的不同等式的数目。 例题2：火柴棒等式（NOIP2008） 【问题简述】给你n(n=24)根火柴棒,叫你拼出 “A + B = C”这样的等式,求方案数。 例题2：火柴棒等式（NOIP2008） 本题最多24根火柴，等号和加号共用4根火柴，所以A,B,C这3个数字需用20根火柴。我们考查A和B的最大的取值可能：0~9这10个数字所用的火柴数为6,2,5,5,4,5,6,3,7,6，很明显数字1用的火柴棒最少只要2根，不妨让B为1，那么A和C最多可以使用18根火柴，而C=A，满足条件的A的最大取值为1111。所以枚举A和B的范围是从0~1111。 五、枚举算法的优化 枚举算法的时间复杂度：状态总数*单个状态的耗时。 【例题3】给你n(n=105)个整数，然后要有m (m=105)个询问。每个询问两个整数i和j，问第i个数字到第j个数字所有数字之和。 【例题4】对于给定的N*M的矩形，在其中找一个R*C的权值最大的区域, 1=N,M=1,000。 【例题5】最大连续子序列的和 【问题描述】给你一个有n(n=100000)个整数的序列，要求你求出其中最大连续子序列的和。 【例题6】最大子矩阵问题 【问题描述】给定一个二维的数组（含正数或负数），请从中找出和最大的子矩阵。例如： 一、引例：Fibonacci数列 Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。 问题： 一个数列的第0项为0，第1项为1，以后每一项都是前两项的和，这个数列就是著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的第N项。 解答 总结 从这个问题可以看出，在计算裴波那契数列的每一项目时，都可以由前两项推出。这样，相邻两项之间的变化有一定的规律性，我们可以将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：Fn=g(Fn-1)，这就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。然后从初始条件（或是最终结果）入手，按递推关系式递推，直至求出最终结果（或初始值）。很多问题就是这样逐步求解的。 对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复运算，真正起到“物尽其用”的效果。 二、递推概念 给定一个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当nn0时,可以用等号(或大于号、小于号)将Hn与其前面的某些项Hn(0in)联系起来，这样的式