15动力学3.pptVIP

* §15-4 两个自由度体系的自由振动 一、刚度法 （1）两个自由度体系 m1 m2 y1(t) y2(t) m1 m2 K2 K1 K2 K1 y1(t) y2(t) 1 1 两自由度体系自由振动微分方程 设解为 =常数 当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令 特征方程 频率方程 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角； 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。 振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。 （1）主振型 （2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应； m1 m2 Y21 Y11 Y12 Y22 最小圆频率称为第一(基本)圆频率： ——第二圆频率 由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。 实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。 例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。 m1 m2 k1 k2 解：（1）求频率方程中的刚度系数 1 1 k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 （3）一般振动 两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 多自由度体系自由振动的振型分解 （3）求主振型 1.618 1.0 1.0 0.618 第1振型 第2振型 （2）求频率 k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 代公式 若有 （3）求主振型 （2）求频率 若有 若 n=90 则第一振型和第二振型分别为： 可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。 如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。 二、 柔度法 m1 m2 y1(t) y2(t) 设解为 此时惯性力 幅值 在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。 主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。 m1 m2 Y1 Y2 当然解 Y1=Y2=0， 为了求得不全为零的解，令 令 主振型 0.5a 例9. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。 1 2 a a a m m 解：（1）计算频率 1 a 1 （2）振型 1 0.277 1 3.61 第一振型 第二振型 三、主振型及主振型的正交性 m1 m2 Y11 Y21 由功的互等定理： 整理得： m1 m2 Y12 Y22 因 ，则存在： 两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。 由功的互等定理： 上式分别乘以ω12、ω22，则得： 第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动； 各个主振型能单独存在，而不相互干扰。 *