电磁场与电磁波精品教学（温州大学）第1章 矢量分析.pptVIP

1 矢量及其代数运算 1 标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上， 所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是 Ax、Ay、Az ， 利用单位矢量可以将矢量A表示成： A =aA=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小为A： 单位矢量可以表示成与三个坐标轴夹角的方向余弦 2.2 矢量的乘积 矢量的乘积包括标量积和矢量积。 1） 标量积 任意两个矢量A与B的标量积(Scalar Product)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，记为 A·B=AB cosθ=B Acosθ 例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ax·ay=ay·az= ax·az=0 ax·ax=ay·ay=az·az=1 任意两矢量的标量积， 用矢量的三个分量表示为 ?A·B=AxBx+AyBy+AzBz ? 标量积服从交换律和分配律， 即 ? A·B=B·A A·(B+C)=A·B+A·C 2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product）是一个矢量， 矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面， 如图所示， 记为 C=A×B（右手螺旋） C=ABsinθ 矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零， 则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。 矢量的叉积不服从交换律， 但服从分配律， 即 A×B=-B×A A×(B+C)=A×B+A×C 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ?ax×ay=az ay×az=ax, az×ax=ay ax×ax=ay×ay=az×az= 0 ? 在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为 2 圆柱坐标系和球坐标系 2.1 圆柱坐标系 空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量(ρ, φ, z)来表示， 如下图示。 其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影， φ是从+x轴到位置矢量OP在xy面上的投影之间的夹角，z是OP在z轴上的投影。由图可以看出，圆柱坐标与直角坐标之间的关系为 表示一个以z轴为界的半平面， φ的变化范围为0≤φ≤2π。 坐标面 z =常数 表示一个平行于xy平面的平面。z的变化范围为-∞z+∞。 由于三个面相交成直角， 因此能够建立互相垂直的坐标轴： ρ、 φ 和z， 相应的单位矢量为aρ、 aφ和az， 分别指向ρ、φ和z增加的方向。 圆柱坐标系中的三个单位矢量（与直角坐标系的不同）除az外， aρ和aφ都不是常矢量，它们的方向随P点的位置不同而变化， 但aρ、aφ和az三者始终保持正交关系， 并遵循右手螺旋法则， 即 aρ×aφ=az, aφ×az=aρ, az×aρ=aφ aρ×aρ=aφ×aφ=az×az= 0 aρ·aφ=aφ·az=aρ·az=0 aρ·aρ=aφ·aφ=az·az=1 圆柱坐标系中的单位矢量aρ和aφ在单位矢量ax和ay上的投影示.显然 aρ=ax cosφ+ay sinφ aφ=ax(-sinφ)+ay cosφ 将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到直角坐标系的转换关系为 2.2 球坐标系 在球坐标系中， 空间一点P 唯一地用三个坐标变量(r,θ,φ)来表示，如图示.位置矢量r又称为矢径(Radius Vector)， r是其大小，θ是位置矢量r与z轴的夹角，φ是从+x轴到位置矢量r在xy面上的投影OM之间的夹角。 坐标面 θ=常数 表示一个以原点为顶点、z轴为轴线的圆锥面，θ的变化范围0≤θ≤π。 坐标面 单位矢量ar、aθ和aφ在单位矢量ax、 ay 和az上的投影分别示于上面三个图中。由图可以得到直角坐标系中的单位矢量变换到球坐标的表达式为 上式表明：如果矢量A是在球坐标系给定的，根据式可以得到直角坐标系的表达式；反之，若矢量A是在