计算材料学精品教学（浙江大学）第07讲.pdfVIP

第三章蒙特卡罗方法 及在材料科学研究中的应用 物理计算 确定微观状态 确定宏观物理量 平衡态 统计计算 确定微观状态分布 确定宏观物理量 平衡态 1 1 如果能采用一定的方式对系统的微观状态进行随机抽样， 则对平均值 A 的计算变成求 1 M A A(X ) M i M i 1 其中 Xi 为第i次抽样的微观状态，M为总抽样次数。根据大数 定律，极限 Lim A A M M  成立。这说明原来带权重的积分统计平均值变成简单的算术平 均值。 问题: 如何对系统的微观状态进行随机模拟和抽样? 2 2 蒙特卡罗方法 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是 一种基于 “随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界 大战研制原子弹的 “曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家 冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的 Monte Carlo —来命名 这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。基本思想： 根据待求问题的随机变化规律，人为的构造出一个合适的概 率模型，依照该模型进行随机统计实验，得到大量的样本，对这 些样本作统计平均，所得结果正好是待求问题的解。 需要指出的是，蒙特卡罗方法不仅在处理具有概率性质的问 题方面获得广泛的应用，对于具有确定性问题的计算也因其程序 简单等优点获得了广泛的应用。如定积分的计算。 3 3 例： 利用蒙特卡罗方法评价圆周率的方法，在xy坐标系的第一 象限内，随机产生点（x，y），即x取[0，1]之间的随机数，y 取[0，1]之间的随机数，它将落在边长为1的正方形内。 然后判别此点是否满足： x2 y 2 1 若满足，则计数器Nf加1，这样 Y （0，1） （1，1） 共得到N个随机点，其中满足的 有N 点。则可得 f N 四分之一圆面积（半径 ）  r2  f 1 / 4 N 正方形面积（边长 ） 2