蒋小洛《信号与系统》教学课件：第2章4.pptVIP

第二章 §5 卷积积分(convolution integral) 卷积积分的定义 卷积积分的图解计算 卷积积分的性质 回忆：任意信号的冲激函数表示 用?(t)可表示任意信号 结论——只要知道了系统的单位冲激响应h(t)，就可以求得系统对任何e(t)所产生的响应r(t)。 ?表明：系统的单位冲激响应h(t)可以完全表征一个LTI系统。 卷积积分的定义 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数 f1(t)和f2(t) ，则定义积分 为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)* f2(t) 即两函数f1(t)和 f2(t)在公共非零区间上乘积函数f1(t)* f2(t)的代数净面积。 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。 求解卷积的方法 （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用卷积积分表计算（P60表2-1） （4）利用卷积性质。比较灵活。 以上常常结合起来使用。 例：利用定义式求 卷积的图解说明 卷积积分的图解计算 例1 例1 卷积积分的计算 运算过程的实质:参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量t移动。对每一个t值，将e(τ)和h(t-τ) 对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。 图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。 积分上下限和卷积结果区间的确定 例22.17(a) 例3 作业 P81 2.17(b)(d) 三、卷积积分的性质 卷积的代数性质 交换律：?1(t)??2(t)=?2(t)??1(t) 分配律：?1(t)?[?2(t)+?3(t)]=?1(t)??2(t)+?1(t)??3(t) 结合律：[?1(t)??2(t)]??3(t)=?1(t)?[?2(t)??3(t)] 卷积的微分与积分性质 三、卷积积分的性质 时移性质 若?1(t)??2(t)=?(t)，则有?1(t-t1)??2(t-t2)=?(t-t1-t2)， 含有冲激函数的卷积 ?(t)??(t) = ?(t) ，?(t)??(t-t0) =?(t-t0) ， ?(t)??(t)=?(t)（微分器）, ?(t)??(t)=?(t), ? 与阶跃函数的卷积 例 例: 小结 卷积积分的意义 卷积积分的性质 求解卷积的方法 （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用卷积积分表计算（P60表2-1） （4）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。 §6 线性系统的时域求解 例2-3 例 例:习题2-21（a） 例：习题2-23 例 第二章小结 作业 P81 2.20(2)(3) 2.21(b)(e) 2.22 线性系统为 r(t)=H(p)e(t) 零输入响应 零状态响应 全响应 其中 例 已知某连续系统的微分方程为 若系统的初始条件y(0-)=y’(0-)=1，输入f(t)=e-3tε(t)，求系统的零输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t)和完全响应y(t)。 解： =0 特征根：-1，-2 y(0-)=y’(0-)=1 利用定义式 t=t- t= t=t- t= 零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应 瞬态响应 稳态响应=0 这里，B是待定系数。 代入方程后有： 求特解(强迫响应)： 全解的通解为： 将初始条件代入上式，得： 得全解(全响应)为： 得齐次解 (自由响应)为： + - 书上例题2-10 + - 解：列电路微分方程 代入数值 例 代入初始条件 电路的零输入响应电压 列系统微分方程： 求右图RC电路的冲激响应。 （条件： ） ? k 要求零状态响应，须先求得电路的冲激响应 电路的零状态响应电压 全响应 冲激响应为 解： 已知系统的转移算子为 ,