在一元函数微积分中,常见的是以下几类问题.docVIP

在一元函数微积分中，常见的是以下几类问题： 1.第一类是已知物体移动的距离表示为时间的函数方式，求物体在任意时刻的速度和加速度。也就是数学中的导数问题。 2.第二类问题是求曲线的切线。 3.第三类问题是求函数的最值，如大炮的最大射程等。 4.第四类问题是求曲线的长度，曲线围成的面积，曲线围成的体积。 在上面四个问题的驱使下，我们的先辈们为了解决这些问题，经过几百年的努力成功地创造了微积分学。整个微积分的内容基本上是围绕这几个问题在展开的，当然在具体的学习过程中还有很多一些问题和内容，但在学习的主线上可以按照这个线条来把握，在学习一元微积分的过程中，应当掌握以下几个重要的概念 函数 函数是我们微积分的研究对象，也是我们利用数学这个工具去解决实际问 题的基础根本，它揭示了我们要解决的问题的几个方面的数量关系，通过数学符号和式子体现出来。 2.极限 极限是学习微积分碰到的第一个重要的概念，也是以后学习微积分的重要基础，因此深入理解领会极限的概念是很重要的。 判断数列{}是否有极限有很多方法，但从数列{}本身的特征直接判断是否收敛是很有意义的，即Cauchy收敛准则。 Cauchy收敛准则：数列{}收敛的充要条件是：对任意ε0, 存在n,m.N 有|Xn-Xm|ε总成立. 这个准则说明了收敛数列的基本特点和本质特征.对于帮助我们更好的理解极限的本质有很好的意义。 3． 导数 导数概念的本质特征是函数的变化量和自变量的变化量的比的极限，也就是理解为两个微分的商，所以也称为“微商”。深刻理解这个概念对于解决对于相关变化率的问题是十分重要的。 4．黎曼和式 黎蔓和的概念是定积分概念的本质内容，也就是定积分就是黎曼和式的极限，是前面我们提到的函数的概念和极限思想的综合，深刻理解定积分的定义即黎曼和式的极限的深刻意义，是我们用数学解决很多实际问题的一个强有力的武器，具体就体现在会用元素法解决一些简单的实际问题。 在一元函数的微积分中的一些具体问题如下 1极限问题 这里主要是计算问题，一般情况下我们掌握了一些计算极限的基本技巧，加上熟悉两个重要极限，等价无穷小，以及法则，变上限函数的求导等知识点，一般的极限都能求出来。 例：求. 【分析】可以先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与法则求解即可. 【解】 =. . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算，这也是我们计算极限的一般的基本的方法。 2.导数问题 主要是导数的计算，有以下一些基本类型：函数在某点的连续性和可导性的判断，复合函数的求导；参数方程的求导；隐函数的求导；幂指函数求导等； 设，求. 【解】本题为计算导数的基本题型，主要考查复合函数求导.，先求导函数即可. 因为 ， 即有 ， 所以 . 3最值问题 例： 将函数（）绕轴旋转一周，求当为何值时，得到的体积达到最值？ 【分析】本题属于定积分的应用加上最值的判定方法，可以先求出最大值的表示式子，在利用积分上限函数的求导的计算方法得到结果。 【解】由题意可得： 所以 令 解得到 由于这里客观存在最值。所以当时，旋转得到的体积达到最值，这里是最大值。 4 不定积分和定积分的计算问题 主要是要掌握不定积分的定义和一些基本的不定积分的运算，掌握换元法和分部积分法计算不定积分，这两个个也是计算定积分的基本方法。 例：计算 【分析】本题属于求函数的不定积分，可以先通过变形，作到基本的积分 表中有的形式在计算。 【解】原式= 做变量替换 即有： = 再做变量替换 所以 所以= === == = 通过两次变量替换可以将原式化为比较好积分的形式，最后再将替换 后的变量重新替换回去 例：设，求. 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ( 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可. 【解】令x ( 1 = t， ＝ 5 定积分的问题 1. 概念问题 我们通过例子来说明。 例: 求极限ln 【解】 这是其中一种解法，利用定积分的定义求解: 因为ln= =[ln1+ln2+?ln -ln] =[(ln1-ln)+(ln2-ln)+?(ln--ln)] =[ln?ln ] = 这就是函数在[0,1]区间上的黎曼和式极限. 所以 原式==-= -1 2. 定积分的应用包括几何应用和物理应用，数