1 2微分方程的物理背景 常微分方程简明教程.ppt

第二节 1.质点的弹性振动 * 微分方程的物理背景—动力机制的数学模型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为什么要学习常微分方程？ 常微分方程是物质运动动力机制的数学表述，大量的客观现实世界运动过程（包括自然界和社会界）的数学模型是常微分方程。因此，建立数学模型以后运用数学的技巧求解方程则能精确描述运动过程。 如何建立数学模型？ 从物理、力学等已确定的自然规律出发，考虑其主要因素、忽略次要因素，提炼出状态变量，包括自变量和因变量（未知函数），然后运用相应规律和实际情况，构造出自变量、未知函数及其导数的关系式，即相应的微分方程。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 F(t) y o 已确定的自然规律： 1.牛顿第二定律: F=ma 2.胡克(Hooke.R)定律: 质点受到的弹性回复力与位移成正比，即f2=-ky 其它事实： 质点在介质中运动所受阻力与质点运动速度成正比，即f1=-rv. 令质点离开平衡位置的距离为y(t), 介质中运动所受阻力为f1，弹性回复力为f2，所受外力为F= f3，各力的数学表示代入牛顿第二定律得： 即得 再令 得规范式 特例1：真空中落体运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当r=k=0,即介质阻尼与弹性约束为0，且F=mg, 则微分方程为 再若t=0时，v(0)=v0, y(0)=y0 则得 特例2：简谐振动 当r=0，F=0,则微分方程为 可以验证方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.RLC 交变电路 C R U(t) L 已确定的事实： 1.欧姆定律： 2.楞次定律: 3.Kirchhoff定律: 其它事实： 令电流i=i(t)，电阻的电势降uR=uR(t)，电感的电势降uL=uL(t)，电容的电势降uC=uC(t)，电容电荷Q=Q(t)，电路输入电压U=U(t),根据Kirchhoff定律有 即得 再令 得规范式 ※这说明有阻尼的机械振动与RLC电路，其运动变化机理，在数学上是统一的。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.冷却与衰变 例1.1一温度为500℃的物体置于20℃的环境中，2分钟后温度降为400℃，问10分钟后温度降至多少？ 冷却定律：物体温度下降速率和物体与环境温差成正比 令温度为T=T(t),将冷却定律表示成数学形式即得 其中k为比例常数，从而得t 与 T的微元关系 两边积分得 根据初始数据t=0,T=500以及t=2,T=400即得C=480, 在表达式 中代入t=10得 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 例1.2 放射性衰变 放射定律：放射性物质的放射速率与质量本身成正比 令放射性物质的质量为m=m(t),将放射律表示成数学形式即得 其中k为比例常数，从而得t 与 m 的微元关系 两边积分得 令初始数据为t=t0, m=m0 即得 从而放射过程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.人口增长 （1）马尔萨斯人口律： 若人口的生存环境宽松，食物充裕，则其增长率与人口基数成正比。 设某地区人口总数为N=N(t),由马尔萨斯人口律得 从而得t 与 N 的微元关系 两边积分得 令初始数据t=t0, N=N0即得 （2）Logistic人口律： 在人口群体中，由于生存竞争而产生一个与人口平方成正比的负增长率。 设某地区人口总数为N=N(t),由Logistic律得 令ab, N(t0)=N0解得 o t N N0 5.溶液淡化 例1.3.容器内有100升浓度10﹪的盐溶液，若以3升/秒的匀速往容器中注入净水，同时又以2升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，问过程开始后1分钟时溶液的浓度？ 溶液淡化是一不均匀的过程，须用微元法来分析！ 设时刻为t时溶液的含盐量为x=x(t), 任选时间微元区间[t,t+dt],由于dt充分小，因此微元时间间隔内过程可视为均匀的。根据微分的定义即得 根据厨师数据x(0)=10,即得溶液淡化的数学模型： 求解后得： ，1分钟后 ，浓度为 6.二体运动（行星绕日运动） Kepler三律（被称为“太空宪法”）： （A）行星绕日运动轨道是椭圆，太阳是轨道的一焦点上； （B）太阳与行星的连线（经线）在相同时间间隔内扫过相同的面积； （C）行星公转周期的平方与它到太阳平均距离的立方成正比。 精确解释 建立行星绕日运动的数学模型 万有引力定律：行星受到太阳的引力f与矢径r的平方成反比，与行星质量m与太阳质量M的乘积成正比，引力方向与矢径方