10-1中用.ppt

微分方程 一、问题的提出 三、主要问题 三、小结 谢谢大家！ 所求特解为 积分曲线（解的几何意义） 常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。 通解的图形是一族积分曲线。 特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线． 本节基本概念： * * LOGO 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题—求方程的解 第一节 微分方程的基本概念 微分方程是精确表示自然科学中各种基本定律和各种问题的基本工具之一。 现代建立起来的自然科学和社会科学中的数学模型大多都是微分方程。 在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系。 含有未知函数的导数（或微分）的关系式。 解 由题有 且满足： 微分方程 含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。 未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。 未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。 未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。 二、微分方程的定义 例2 已知质点在时刻t的加速度为t2+1，且当t=0时，速度v=1、距离s=0，求此质点的运动方程。 s??=t 2+1含有待求函数的导数，是微分方程。 例1 y?=2x 是微分方程。 s??=t 2+1， s?(0)=1， s(0)=0。 解：设此质点的运动方程为s=s(t)，则有 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程。 例如， y?=2x 和s??=t 2+1都是常微分方程。 未知函数为多元函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。 例如 zxx??+zyy??=0，yzx?-xzy?=0都是偏微分方程。 常微分方程与偏微分方程： 练习 常微分方程 偏微分方程 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 微分方程的阶数 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的 最高次数，称为微分方程的阶数。 一阶 二阶 一阶 练习:方程 y?=2x 和 s??=t 2+1都是几阶微分方程？ 线性方程、非线性方程 若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的， 且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称 该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。 一阶 二阶 一阶 线性 线性 非线性 齐次方程、非齐次方程 在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐次方程。 自由项不为零的方程，称为非齐次方程。 一阶齐次线性方程 二阶非齐次线性方程 一阶非齐次非线性方程 微分方程的一般表示形式 那么微分方程所关心的主要问题是什么呢？我们要求什么呢？ 废话！当然是求方程的解了。 微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数. 满足 那么微分方程的解是什么样的呢？解都有哪些呢？ 方程的解、通解、特解、所有解 能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。 如果 n 阶微分方程的解中含有n 个相互独立的任意 常数，则称此解为 n 阶微分方程的通解。 一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。 通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用其它方法直接由方程解出。 所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。 例 解 代入方程，得 初始条件（定解条件） 由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件。 常微分方程 初始条件 称为初值问题(求微分方程满足初始条件的特解的问题) 例 解 微分方程 初始条件 通解 特解 例 解 微分方程 初始条件 通解 特解 有何想法？ 定义2 如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则称此函数为该微分方程的解。 微分方程的解： 例1 求过点(1, 3)且切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程是y=y(x)，则根据题意有 y?=2x， y(1)=3。 在方程 y?=2x 的两边求不定积分得 y=x2+c (c为任意常数)。 函数 y=