5-常微分方程数值解.ppt

作业 6(1) * * （Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ） 必要性 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。 常微分方程数值解法 §5.1 引 言 一阶常微分方程初值问题： 微分方程 初始条件 利普希茨连续条件（Lipschitz continuity） 是以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续 更强的光滑性条件(称为一致连续)。 利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨 条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数 L（该常数依函数而定）。 二、初值问题解的存在性 1.? 考虑一阶常微分方程的初值问题 则上述问题存在唯一解。 只要 在 上连续,且关于 y 满足 Lipschitz 条件， 即存在与x,y无关的常数 L 使 对任意定义在 上的 都成立， 解存在性定理： 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 采用离散化方法。 称节点间距 为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。 2.?数值解法 三、初值问题的离散化方法 离散化方法的基本特点是依照某一递推公式， 值 ,取 。 按节点从左至右的顺序依次求出 的近似 如果计算 ，只用到前一步的值 ，则称这类方法为单步方法。 如果计算 需用到前r步的值 , ,则称这类方法为r步方法。 §2 欧拉方法 ?一. 欧拉公式(单步显示公式）： 向前差商近似导数 记为 x0 x1 亦称为欧拉 折线法 a = x0 x1… xn= b 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差 。 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。 定义 ? 欧拉法的局部截断误差： Ri 的主项 泰勒展开式 欧拉法具有 1 阶精度。 例1: 用欧拉公式求解初值问题 取步长 。 解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为： 其中 。 计算结果列于下表： 可用来检验近似解的准确程度。 进行计算，数值解已达到了一定的精度。 这个初值问题的准确解为 ， 从上表最后一列，我们看到取步长 ?二、后退的欧拉公式 向后差商近似导数 x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? 由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 欧拉公式。 而前面学的称为显式欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 ? 隐式欧拉法的局部截断误差： 即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。 含有未知的函数值 隐式欧拉法没有显式欧拉法方便！但是数值稳定的！ ? 三、梯形格式 — 显、隐式两种算法的平均 注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。 但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到 迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。 方 法 ? ? 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式 简单 精度低 稳定性最好 精度低, 计算量大 精度提高 计算量大 Can’t you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages? Do you think it possible? Well, call me greedy… OK, let’s make it possible. 四、改进欧拉法 Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 Step 2: 再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 1 + i y 嵌套形式 平均化形式 注:此法