5第五章-常微分方程数值解法.ppt

1、 收敛性简介（以显式Euler格式为例 ） 如果对任意固定的 ，数值解 当 （ ）时趋于准确解 ，则称该算法是收敛的。 为理解收敛性的含义，仅考察下列模型方程 对于Euler格式，上述问题的Euler格式具有形式 从而数值解 因此当时 , 即Euler法收敛！ 返回 这样做的根据是： 1）对试验模型不收敛的方法，不可用； 2）一般的初始问题在其解的存在区域内，可局部线性化转化为试验方程。 单步法收敛的充要条件为收敛阶p≧1。 我们称算法是稳定的，如果在节点值 上有大小为 的扰动，而以后各节点值 上产生的偏差值均不超过 。 2、 稳定性简介 考察下列试验模型方程 进一步，若以后各节点产生的误差趋于零，则称算法是绝对稳定的。 1）对试验模型数值不稳定的方法，不可用； 2）一般的初始问题在其解的存在区域内，可局部线性化转化为试验方程。 对于Euler格式，上述模型方程的Euler格式为 当选择h使得 时，Euler格式绝对稳定！ 其绝对稳定区域为 （1）显式欧拉法 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. Phys. North China Elec. P.U. 第五章 常微分方程数值解法 §1 问题的提出和基本概念 1、问题的提出; 2、常微分方程初值问题的数值解法; 3、一些基本概念 §2 单步法及其收敛性 1、Euler法，梯形公式，改进Euler法 A）设计思想： （1） 差商代替导数； （2） 数值积分法； （3） 泰勒展开法。 B）改进的Euler公式 2、龙格-库塔（Runge-Kutta）法 A) 龙格-库塔法的设计思想； B) 龙格-库塔法的设计方法； C) 常用龙格-库塔法。 C ）总结 §3 步长的选择 1、 精度的控制； 2、 步长的自动选择。 §4 收敛性与稳定性简介 1、 收敛性； 2、 稳定性。 单步法小结 §6 一阶常微分方程组和刚性问题 §5 线性多步法简介 1、问题的提出 （1） 设初值问题（1）的解存在且唯一，求解（1）会遇到如下问题： A）（1）的解析解无法表出； B）（1）的解析解可以求出，但是计算其函数值很复杂。 如： 其解析解为 返回 2、常微分方程初值问题的数值解法 给定步长h0，取节点 通过数值方法计算问题(1)的解y(x)在各个节点处的近似值 该数值方法称为初值问题(1)的数值解法，近似解yk称为数值解。 常微分方程数值解法的特点 从初值出发，顺着节点排列次序一步步向前推进，即利用已知 信息 ，来计算 。 ——步进式 返回 3、一些基本概念 （1） 单步法和多步法 单步法：计算yk+1时，只用到前一节点的信息；（自开始） 多步法：计算yk+1时，用到了前面一个以上节点的信息； （2） 显式格式和隐式格式 显式格式：若 yk+1的计算表达式只含有已知信息；（便于计算） 隐式格式：yk+1的计算表达式含有未知信息。（数值稳定性好） 一般形式: 增量函数 （3） 截断误差 若计算数值解yk+1时用到的信息都是准确的，称 为该方法的局部截断误差， 返回 并称该方法为p阶方法。 （1） 差商代替导数 1） 向前差商 ——Euler公式（显式格式） （2） 2） 向后差商 （3） ——隐式Euler公式 3） 中心差商 ——Euler两步法, 显式格式 （4） 返回 （2） 数值积分法 1） 左矩形公式 ——Euler公式 2） 右矩形公式 ——隐式Euler公式 注：梯形公式即为Euler公式和隐式Euler公式的算术平均！ 3） 梯形公式 ——梯形公式 （5） 4） 中矩形公式 ——Euler两步法 返回 （3） 泰勒展开法 1）将y(x)在x=xk处展开 令x=xk+1，则 只保留h的线性项，得 —Euler公式 局部截断误差为（假设yk准确） 因此，为一阶方法！ （6） 主项 2）将y(x)在x=xk+1处展开 令x=xk，则 只保留h的线性项，得 —隐式Euler公式 为一阶方法！ （7） 局部截断误差为（假设yk准确） 3）（6）-（7）可得 保留h的线性项，得 ——梯形公式，隐式格式 （8） 二阶方法！ 局部截断误差（假设计算yk+1用