7-1几类简单的微分方程-3.ppt

微分方程 八、全微分方程及其求法 2. 判别法 例1 ★ 九、积分因子法 1.定义 2. 求积分因子 ? (x, y) 的方法 2o 公式法 情形2 例2 (方法2) 公式法 例3 (方法2) 公式法 (方法3) 例4 十 、一阶微分方程小结 例1-2 例1-3 例3-1 例4-1 例4-2 解 将方程左端重新组合,有 求微分方程 ① ① ? 全微分方程 原方程的通解为 全微分方程 解法1 原方程是全微分方程. 将左端重新组合： 原方程的通解为： (方法1) 分项组合法 x y o ? 0,1 (方法2) 特殊路径法 解法2 齐次方程 原方程变形为 (方法1) (方法2) 分析 (1) (1) (2) 不是只与 x 有关 ? (2)无只与x有关的积分因子 ∴ (2)也无只与y 有关的积分因子 解 (方法1) 积分因子法 (1) (2) (分项组合) 1.类型5 如: 是全微分方程 全微分 方程. 注 — 区间 3. 求解法 常用的方法有三种： 全微分方程 (5.1)的通解为： 由曲线积分与路径无关的四个等价命题，知 x y o y0 思路： 代入(5.2),即可求得 解 原方程是全微分方程 原方程的通解为 引例： 解 如何求解？ 可变量分离方程 全微分方程 注 如：对于引例， 的积分因子. 1o 分项组合法(观察法): 利用微分四则运算法则，一阶全微分形式不变性，凭观察凑微分得到? (x, y) . 如： 求解不容易 特别地， 证 情形1 解 的通解. (方法1) 分项组合法 此方程不是全微分方程 想： 全微分方程 原方程的通解为: 原方程的通解为: 全微分方程 解 P Q (方法1) 分项组合法 全微分方程 太繁！ 即 —— 这是? = -1时 的伯努利方程 则可将此方程化为关于z 的线性方程. ··· ··· 解法1 整理得 (方法1)常数变易法: (方法2)常数变易公式法: 原方程的通解为 解法2 (方法1) 特殊路径法: (方法2) 凑微分法: (方法3) 偏积分法: 原方程的通解为 变量分离方程 用初等积分法求解一阶微分方程的思路有两条： 全微分方程 一阶微分方程 变量变换法 积分因子法 解 备用题例1-1 即 将方程左端重新分项组合， 此方程是全微分方程 故方程的通解为 解 原方程恒等变形为 P Q ? 这是一个全微分方程 解 求微分方程 原方程的通解为 * * * *