7-8-二阶常系数线性非齐次微分方程.pptVIP

微分方程 第八节 二阶常系数线性非齐次微分方程 一、 例1. 例2. 例3. 求解定解问题 第二步 求如下两方程的特解 第三步 求原方程的特解 第四步 分析 二、 小 结: 例4. 例5. 例6. 例7. 内容小结 思考与练习 2. 求微分方程 3. 已知二阶常微分方程 作业 Higher- mathematics ( I ) * Chapter7 ?一、 ?二、 型 型 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . (1) 若 ? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解形式为 Q (x) 为 m 次待定系数多项式 一、 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . 一、 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 即 一、 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 即 小结 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 (1) 若 ? 不是特征方程的根, (2) 若? 是特征方程的单根 , (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 的一个特解. 解: 对应齐次方程的特征方程为： 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 是特征单根 解: 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 例3. 求解定解问题 解: 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 于是所求解为 思考题 写出微分方程 的特解形式. 思考题解答 设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 （重根） 二、 第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 ③ 的特解 . ② ③ 设 则 ② 有 特解: 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 对非齐次方程 则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 因此原方程④之解为 第六节例1 (P323)中, 若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 代入④可得: ④ 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时, 自由振动 强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式: 代入④可得: 方程④的解为 ④ 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 . 可无限增大, 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; p = k . 自由振动 强迫