7.1-7.5--微分方程.ppt

解 方程化为 积分得 练习 答案 (y-x+1)5=C(x+y-3) 解题过程 这时方程 无法求解。 我们另外找合适的变量代换：令u=a1x+b1y，代入原方程， 则原方程化为可分离变量方程。 例 求方程(2x-4y-3)dx+(3x-6y-2)dy=0的通解。 解 微分方程(2x-4y-3)dx+(3x-6y-2)dy=0即 令u=x-2y，则方程化为 分离变量得 或者写作 四、一阶线性微分方程 下面讨论一阶线性微分方程的求解，一阶线性微分方程的 一般形式为： y+P(x)y=Q(x) ① 当Q(x)≠0时，称之为一阶非齐次线性方程。 当Q(x)=0时，方程变为 y+P(x)y=0 ② 称为一阶齐次线性方程。 一般地，方程②称为方程①的对应齐次方程。 一阶非齐次线性方程的求解是通过它对应齐次方程的通解 求得的。对于齐次线性方程②，显然它是一个可分离变量方 程，容易求得它的通解。 定理 齐次线性方程y+P(x)y=0的通解为y=Ce-∫P(x)dx，其中 的不定积分只需求出一个原函数即可。 下面用变量代换法求非齐次方程 y+P(x)y=Q(x) 的通解。 设要做的变换为y=uv，其中u为变换后的未知函数。我们 需要确定函数v，使这个变换能把方程化简为前面已经熟悉的 方程之一。 把y=uv代入得 vu+u[v+P(x)v]=Q(x) 可以看出，当v+P(x)v=0时，例如取v=e-∫P(x)dx时，方程化 为可分离变量方程 e-∫P(x)dx u= Q(x)。 由以上分析，作变量代换y=ue-∫P(x)dx，得到可分离变量方 程e-∫P(x)dx u= Q(x)，求出通解，换回原变量y，容易得到： 定理 一阶非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为 容易看出，上面v满足的方程v+P(x)v=0就是原方程对应的 齐次线性方程，而我们选取的v是这个齐次方程的特解。对应 的变量代换y=ue-∫P(x)dx相当于把齐次方程的通解里的常数C写 成未知函数u。 因此，在解题时，可不必写出u和v。求出对应齐次线性方 程的通解后，直接把通解里的常数C换成未知函数C(x)，对应 的y代入原方程，解出C(x)后得到原方程的通解。这种方法称为 常数变易法。 则求微分方程的通解时可以直接把方程中的系数直接代入此公 式中而得到通解，此之谓公式法。 代入时注意P(x)、Q(x)各是什么。 若能记住一阶非齐次线性方程y‘+P(x)y=Q(x)的通解公式 当把y看作x的函数时方程不是线性方程时，可考虑x看作y 的函数，若这时方程是线性方程，同样可利用常数变易法或公式法得到通解。 解题过程 解题过程 解题过程 1 y-2y=ex 2 (x+1)y-ny=(x+1)n+1ex 3 ydx＋ (x-2lny)dy=0 练习 求下列微分方程的通解： 五、Bernoulli方程 对一阶非线性微分方程，没有像线性微分方程那样统一的 公式或方法。有时可以把一些特殊的非线性微分方程通过变量 代换化为线性微分方程。例如对方程 y+P(x)y=Q(x)yn 这个方程是Jacob Bernoulli于1695年提出(因此现在称此方程为 Bernoulli方程)，1696年Leibniz给出求通解的方法。下面介绍 Leibniz的变量代换。 解法 作变量代换z=y1-n，则方程y+P(x)y =Q(x)yn化为一阶线 性非齐次方程 例 答案 解题过程 练习 §7.4二阶常系数线性微分方程 二阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y,y)=0 一般地说，要求出它的解是很困难甚至是不可能的。因 此，本节只讨论一些特殊的二阶微分方程的求解问题，重点是 常系数线性方程的求解问题。 二阶常系数线性微分方程的一