7.1-微分方程的基本概念.pptVIP

二、微分方程的定义 三、主要问题-----求方程的解 四、小结 * * 　　　　 　 　　　　　　　　　　 第一节　微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题－－求方程的解 四、小结 思考题 解 则 将已知条件代入，得 则 设所求曲线方程为 又　 应满足 时 两端对 积分，得 例1　求一曲线在任意点处的斜率为２　，且过点（１，２）。 为所求曲线方程. 一、问题的提出 例２　列车在平直路线上以２０米／秒的速度行驶，当制动时， 列车获得加速度-０.4米／秒2　，问开始制动后多长时 间能停住，以及列车在这段时间行驶了多少路程？ 等式两边同时积分，得 解 设列车开始制动后 秒内行驶了 米， 则 时, 则 故开始制动后50秒停住 且行驶了500米。 再积分 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 在微分方程中，自变量的个数只有一个 在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上 常微分方程 偏微分方程 分类1：常微分方程, 偏微分方程. 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类2: 例3 指出下列各微分方程的阶： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 一 三 二 一 二 一 分类3: 线性与非线性微分方程. 分类4: 单个微分方程与微分方程组. 非线性 线性 线性 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 例4 验证函数 是微分方程 的通解。 证 任意常数的个数与方程的阶数相同 所以，结论成立。 求微分方程 例5 满足初始条件 的特解。 解 为其特解 例6 设一物体从A点出发作直线运动， 在任一时刻的速度大小 为运动时间的两倍，求物体运动规律。 所以 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线． 本节基本概念： 1.试验证下面函数均为方程 的解， 常数， (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.给定一阶微分方程 (1)求出它的通解； (2)求通过点 的特解； (3)求出与直线 相切的解； (4)求出满足条件 的解。 思考题 中不含任意常数, 故为微分方程的特解.