8.常微分方程经管类.pptVIP

* * 熟悉微分方程与差分方程的一些基本概念 能应用微分方程解决一些简单的几何与物理问题 掌握变量可分离方程、一阶线性方程、二阶常系数 线性微分方程及一阶差分方程解法. 1. 常微分方程: 含有未知函数为一元函数导数或微分的方程. 2. 微分方程的阶: 未知函数导数或微分的最高阶数. 3. 微分方程的解: 使微分方程成为恒等式的可微函数. 4. 微分方程的通解: 微分方程的解,且含独立的任意常数个数 等于微分方程阶数的解. 5. 微分方程的特解: 微分方程不含任意常数的解. 6. 常微分方程中未知函数及其导数都是一次的,且不含这些变 量的乘积项称之为线性微分方程. 一般形式为: 例1. 微分方程的导数阶数最高为2阶, 所以微分 方程的阶数为2 例2. 方法 分辨类型、熟悉解法 具体分析、灵活应用 可降阶 一 阶 高阶线性 微 分 方 程 可分离变量型 齐次方程 线 性 型 解 的 结 构 常系数齐次 常系数非齐次 应 用 1. 可分离变量型： 先分离变量，然后两边分别积分. 解法 齐次方程 柏努利方程 解法 例3. (2006.Ⅰ) 微分方程 的通解是________. 微分方程是可分离变量方程，先分离变量再积分 例4. 2012年 全国考研数学(二)试题 解法 解法 例5. 微分方程 的通解是________. 微分方程是可降阶的第一种类型，只要微分方程 积分两次 方程两边再对x积分 分析 例6. 填空题 比较以上两种解法，解法1是基本解法，具有 普遍性，但此题用解法2，凑微分则更简单一些. 1. 线性微分方程解的结构 例7. 线性无关的函数 为任意常数， 则微分方程的通解为（ ） 2. 常系数线性微分方程的解法 （1）二阶常系数齐次微分方程 特征方程 通解Y (2). n阶常系数齐次微分方程 有类似于（1）结论， （3）二阶常系数非齐次微分方程 ① ② 用代定系数法求特解 例8. （2010. 数学一） 第一步：根据实际问题，建立数学 模型，列出微方程； 第二步：判断方程类型，解方程； 第三步：求解结果的应用。 2. 在几何方面的应用 建立微分方程的方法：利用几何图形，与以下微积分知识建立微分方程. *