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9-1-2-微分方程的一般概念与一阶微分方程.ppt
一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题-----求方程的解 二、齐次微分方程 * §9.1 微分方程的基本概念 解 解 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 定义9.1: 凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程. 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 分类: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 高阶微分方程 定义9.2:如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等则称此函数为该微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 一阶微分方程的一般形式 一、可分离变量的微分方程 称为变量已分离的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 §9.2 一阶微分方程 ---称为可分离变量的微分方程.可化为 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 又 两端积分 通解为 解 解 由题设条件 衰变规律 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1.定义 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 2 求解微分方程 解 微分方程的解为 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为一阶线性齐次方程. 上方程称为一阶线性非齐次方程. 三、一阶线性微分方程 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 1. 一阶线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2. 一阶线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比:
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