9-1微分方程的基本概念10.3.1.pptVIP

微分方程 微分方程 例1 例2 二、基本概念 内容小结 * 第一节 微分方程的基本概念 第九章 二 、基本概念 一、问题的提出 x 解 t y o 一、问题的提出 解 一条平面曲线通过坐标原点，且该曲线上任意一点M(x,y)处切线的斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线的方程. 其中C 为任意常数. 把条件( 2）代入( 3 )式得 C = 0. 将C = 0 代入 (3）式，即得所求曲线方程 例3 质量为m 的物体,只受重量作用,从静止开始 做自由落体运动,求物体的运动规律. 解 首先建立坐标系， 即 1.微分方程: 凡含有一个或几个自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 若自变量只有一个，则称为常微分方程；若自变量的个数不止一个，则称为偏微分方程. 常微分方程的一般形式： 如： 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 常微分方程 偏微分方程 2. 微分方程的阶: 一阶微分方程 高阶(n≥2)微分方程 显式方程 隐式方程 微分方程中出现的未知函数 的最高阶导数的阶数称之. 3. 线性与非线性微分方程: (关于 y 线性) (非线性) (关于 y 非线性) (关于x 线性) 4. 微分方程的解: 的解； 5. 微分方程的解的分类： (1) 通解: 通俗地说， 微分方程的通解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这些常数之间没有任何关系. (2) 特解: 不含有任意常数的解. 思考. 通解是否一定包含了此方程的所有解？ 不一定. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 6. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解 例4 所求特解为 的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) 在§2 — §4中, 将讨论对方程