9.3---二阶常系数线性微分方程.ppt

二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 对应齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 1）、 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . (1) 若 ? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 例1. 的通解. 解: 特征方程为 而本题 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求通解为: 特征根为： 所以对应齐次方程的通解为： 不是特征方程的根 . 为什么？ 例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 是一重特征根 一次多项式 例3. 求解定解问题 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 于是所求解为 解得 2）、 第二步： 求出对应齐次方程的特征值 令特解的方法: 第一步: 由 f (x)确定 第三步: 若 是特征方程的k(k= 0,1)重 特征值 第四步： 令原方程特解 小 结: 对非齐次方程 则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 例4. 的一个特解 . 解: 本题 而特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 , 特征根为 例5. 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 例6. 解: (1) 特征方程 有特征根 而 ，所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有特征根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 思考与练习 时可设特解为 时可设特解为 提示: 1 . (填空) 设 2. 求微分方程 的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程 特征根: 对应齐次方程通解: 时, 代入原方程得 故原方程通解为 时, 代入原方程得 故原方程通解为 3. 已知二阶常微分方程 有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 内容小结 特征根: (1) 当 时, 通解为 (2) 当 时, 通解为 (3) 当 时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 一、齐次方程通解的求法: 二、非齐次方程的特解的求法 ? 为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 作业 习题册 备用题 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 * * 经济数学《微积分》下cyx-ljy 目录 上页 下页 返回 结束 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 经济数学《微积分》下cyx-ljy 一、二阶常系数线性齐次方程 第三节、二阶常系数线性微分方程 二、二阶常系数线性非齐次方程 * * 经济数学《微积分》下cyx-ljy 三、n 阶常系数线性非齐次方程 其解法思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 一、二阶常系数线性齐次方程 称为二阶常系数齐次线性微分方程: 证毕 1、二阶常系数线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 定理1