X08-1-2-3一阶微分方程.ppt

第八章 微分方程（组） §8-1 微分方程（组） 5.凑微分法(P339) §8-3 可降为一阶的二阶微分方程的解法 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 解 代入原方程 原方程的通解为 ) ( ) ( x Q y x P dx dy = + 一阶线性微分方程 的标准形式 : Q(X)=0 方程称为 齐次的 . Q(X)? 0 方程称为 非齐次的 . 3、一阶线性微分方程 例如 , sin 2 t t x dt dx + = （定理8-1）齐次方程的通解为 一阶线性齐次微分方程的解法 (使用分离变量法) 线性齐次方程 的解法： 1）可分离变量： 2) 公式： ? 例 求 y’+ y / (1+x)=0 满足初始条件y(1)=1的特解。 线性非齐次方程的解法 线性非齐次方程的解线性齐次方程的解之间的关系： 两边积分 相比，就是将： 常数变易(位）法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 齐次方程的通解 变易成 y,y’代入线性非齐次方程得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 求解方法： 注:1) 非齐次方程通解 = 对应齐次方程通解 + 非齐次方程一特解 2）常数变易; 3) 公式 例1 求下列方程通解 1) x y’ +y =sinx 解： 常数变易法 y’ +y/x =0 y= Ce —∫P（x）dx= C/x 设 y=C(x)/x 代入方程 [C(x)/x ]’ + C(x)/x2 = sinx/x = C’(x)=sinx C(x)= -cosx+C = 通解： y = (- cosx+C)/x 解 （法2公式法） 例2：求通解 分析： 如果把x看成自变量，把y看成因变量，上式不是一阶线性方程； 反之，如把y看成自变量，把x看成因变量,上式成为： 是一阶非齐次线性方程 例3 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 所求曲线为 P335例6.设有连接O和A（1，1）的连续曲线y=f(x)，P(x,y)为曲线上动点，若直线OP与曲线y=f(x)围面的图形面积为x2，求y=f(x) 设曲线方程为y=f(x),按题意有： 两边求导，得： 初始条件y(1)=1, x y o P(x,y) 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 4、伯努利方程 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 求出通解后，将 代回， 这是一个一阶线性非齐次微分方程，已能求解。 例1 解微分方程: 解 所求通解为 伯努利方程 n= -1 解 例 2 例如 左端凑为某函数的全微分 * 解 一、问题的提出 例2 设某种物质沿ox轴均匀分布在区间[0,1]上分布密度 ,求分布函数S(x) 常微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 二、微分方程的定义 偏微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类1: 分类2: 单个微分方程与微分方程组. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 微分方程的解: 代入微分方程使方程恒等的函数 微分方程的解 (1)一般解（通解）: 含有相互独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同的微分方程的解。 不唯一，求解方法求不定积分 其解是过定点的一条积分曲线; 一阶: 二阶: 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 解 所求特解为 P(x,y) Q O x x y y=y(x) 解： 例3： 为所求的微分方程。 解 开始制动到列车完全停住共需 列车在这段时间内行驶了 通解 特解 §8-2 一阶微分方程的解法 1、可分离变量的一阶微分方程 的方程称为可分离变量的微分方程. 为微分方程的一般解（通解）. 分离变量法