一阶偏微分方程教程.ppt

数学建模培训 一阶偏微分方程模型 偏微分方程的相关概念 偏微分方程：一个包含有多元未知函数及其偏导数的等式。方程中所含未知函数偏导数的最高阶数称为该方程的阶。如： 一阶线性偏微分方程 一阶齐次线性偏微分方程 齐次线性偏微分方程的Cauchy问题 非齐次线性偏微分方程 一阶拟线性偏微分方程 带年龄结构的线性人口发展模型 线性模型的建立 非线性模型的建立 精神病用药问题的方程模型 问题的提出 假设 方程模型的建立 偏微分方程的傅里叶变换解法 傅里叶变换及其基本性质 傅里叶变换法求解偏微分方程 偏微分方程的分离变量解法 一方面，该柱体中物质扩散时位于区间段[x, x+?x]的物质在时间段[t, t+dt]内的增量为 另一方面，扩散理论中的涅恩斯特实验定律告诉我们，在时间?t内，物质沿 x 轴正向流过 x 处截面(面积为A)的质量为(其中 Ex 0 称为 x 方向的扩散系数)： 同理，在时间?t内，物质沿 x 轴正向流过 x+?x 处截面的质量为： 于是在时间?t内，流入微元体[x, x+?x]内的物质质量为： 显然 ，即 由于大脑是均匀的，显然沿各方向的扩散是一致的，且扩散系数 Ex(Ey, Ez) 均为常数，再考虑到成分的衰减，应有 (5) 又设 t=0 时瞬时点源的剂量为M，则 其中 (6) (6) (6)式为方程(5)的初始条件。(5)(6)即构成了用药问题的方程模型。利用积分变换法可求得其解。 若 f(x) 在[-l, l]分段连续可导(逐段光滑)，则 f(x) 在(-l, l)可以展开为Fourier级数： 其中 将系数代入，并设 f(x) 在(–?, ?)内绝对可积，则整理可得 令 则 称 g(?) 为 f(x) 的傅里叶变换，记为F[f]；称f(x)为g(?) 的傅里叶逆变换，记为F–1[f]。 性质1 性质2 性质3 性质4 其中定义卷积 性质5 例 求解定解问题 关于x进行傅里叶变换，记F[u]=U，F[?]=?，则有 其解为 于是原问题的解为 而 故 下面来求解定解问题： (1)(2)(3) 作具有分离变量形式的试解 u(x, t)=X(x)T(t)，代入方程(1)，得 (4)(5) 即有 从而得到两个常微分方程 * 等。 　　如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的，则称它是线性的；如果它关于所有最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性的。 定解问题：定解条件通常包括边界条件和初始条件两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解问题，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问题和混合问题。 方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区域内的解（古典解）。满足某些特定条件的解称为特解，这些条件称为定解条件。一般情况下，一个具有n个自变量的m阶方程的解可以含有m个n-1元任意函数，这样的解称为通解。 (1) 显然方程有平凡解u=常数。一般求其非平凡解。 　　以下以含有3个自变量的方程为例，一般形式为 (2) 　　常微分方程组 (3) 称为方程(2)的特征方程组，每一条积分曲线 称为方程(2)的特征线。 　　若由特征方程组(3)推出函数 恒为常数，则称该函数为方程组(3)的一个首次积分。 　　若特征方程组(3)的3个独立的首次积分为 则特征方程组(3)的通解为 例1. 求解方程组 解：由 得 ，因此得到一个首次 积分为 再由 得 ，因此得到另一个首次积分为 于是原方程的隐式通解为 　　由(3)可得 (4) 若(4)的一个首次积分为 的一个首次积分。 于是得到方程组(3)的一个等价形式： ，则它也称为(3) 　　对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征方程组(3)或(4)，我们有以下结论： 　　证明从略。 定理1：连续可微函数 是(2)的解的充分必要条件是 是(4)的首次积分。 定理2：如果 是(4)的两个独立的首次积分，则它们的任意连续可微函数 　　　是(2)的通解。 例2. 求解方程 解：特征方程组为 或 首次积分为 于是原方程的隐式通解为 ，其中 ? 为任意二元连续可微函数。 (5) 其中 f 为已知函数。 例3. 求解Cauchy问题 解：特征方程组为 首次积分为 于是原方程的通解为 ，其中 ? 为任意二元连续可微函数。 　　将该解代入初始条件，得 于是 从而原Cauchy问题的解为 (6) 其中 f , g为已知函数。 　　其特征方程组为 将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出三个首次积分，从而得到通解。 (7) 其特征方程组为 (8)