条件分布 课件.pptVIP

第四节 条件分布 设二维离散型随机变量 ( X ,Y )的分布 若 则称 为在 X = xi 的条件下, 随机变量Y 的条件分布律 4.1 离散随机变量的条件分布律 若 则称 为在 Y = yj 的条件下随机变量X 的条件分布律 类似于乘法公式 联合分布、边缘分布、条件分布的关系: 联合分布 边缘分布 条件分布 联合分布 例1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3的三个盒子中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求 (1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律； (2) 在 X = 2 的条件下，Y 的分布律. 解 先求联合分布， X Y pij 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 pi? 1 p? j X 0 1 2 3 将表中第一行数据代入得条件分布 (1) Y 0 1 (2) 当 X = 2 时，Y 只可能取 0 与 1. 将表中第三列数据代入下式 得Y 的条件分布 4.2 连续型随机变量的条件分布 当X 连续时, 条件分布不能用 来定义, 因为 , 来定义. 而应该用 定义1. 则称此极限为在条件 下, X 的条件分布函数。记为： 同理: 且对任意实数 为条件 下 Y 的 条件分布函数 分子分母同乘 由条件概率定义 由分布函 数性质 分子是由二元偏导数定义;分母是由一元导数定义 分子是由分布函数定义;分母是由分布函数与概率密度关系. 对 y求偏导后只含 x 的积分 又因为由定义： 所以得： 称为 Y = y 的条件下 X 的条件 概率密度 称为 X = x 的条件下Y 的条件概率密度 同理得: 若 f (x,y) 在点(x, y) 连续, f Y (y)在 点 y 处连续且 f Y (y) 0, 则称 为Y = y 时，X 的条件分布函数, 记作 定义 二维连续随机变量 ( X,Y ) 相互独立 例2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 ? r2 上的均匀分布,求 r 解 ? ? x -r = 同理， 二维均匀分布的边缘分布不是均匀分布！ 当 – r y r 时， ? ? y — 这里 y 是常数，当Y = y时， 当 – r x r 时， — 这里 x 是常数，当X = x 时， ? ? x 条件分布是均匀分布！ 前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布. 可以证明，对二维正态分布，已知 X=x下，Y 的条件分布，或者已知 Y=y下，X的条件分布都仍是正态分布. 例3 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到 X=x(0x1)时，数Y在区间(0，x)上随机地取值.求Y 的概率密度.（书P83例4.3-（2）） 解：依题意，X具有概率密度 对于任意给定的值x(0x1)，在X=x的条件下，Y的条件概率密度为 X和Y的联合密度为 于是得Y的概率密度为 已知边缘密度、 条件密度，求 联合密度 这一讲中，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布. 请课下通过练习进一步掌握. 运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率. 定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为 特别，取 即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A， （书P82例4.2）