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谈高中数学重要方法：数形结合 一 数形结合的的实质 中学数学可以说是由三部分内容组成：基本知识、基本技能、基本思想方法，简称“三基”。数学思想方法是数学的重要组成部分。数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想。其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，换言之“数形之间相互取长补短”。 二 数形结合的优越性 几何问题比较直观，代数问题比较抽象，抽象的代数问题一旦与几何图形结合就往往使问题简便，易猜测结果。而且一些纯代数问题结合图形来解，显得特别容易，“脑中有图象，直观又形象”。数形结合方法作为一种策略思想，能最直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果。综上所述，数形结合的优越性可以概述为以下三点：1 能够直接导出结果。2 易于寻找解题思路。3 能避免复杂的计算和推理，简化解题过程。总之，它以解题的直观性和简捷性被广泛使用，特别是作为高考中重要数学思想方法考查以来，各类题解使用的深度和广度逐渐升级，形成热点。 三 函数中的数形结合 如果说坐标系是数与形结合的纽带，那么我认为函数图象则是数的直观形象的反映。一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反比例函数都有其对应的图像。例如，新课标必修4中有这样的话：“遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有没有特殊点，并借助图象研究一下它的性质，如：单调性、奇偶性、最大值、最小值等。”函数图象则是数的直观形象的反映,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象，结合实际图象记性质、用性质的好习惯。数形要结合，关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。 1 二次函数与数形结合 例1．已知函数的图像，试判断下列各式的符号 (1) (2) (3) 1 (4) (5) 评析：本题是典型的“形”中觅“数”，也是最简单最基本的的数形结合，它要求学生必须由形到数，也就是要学生读懂图形。 例2．若方程有两根为，且， 求的取值范围 解：令 0 1 2 或-3a4 评析:本题对学生的要求高多了,它要求学生在深入观察数式的特征下,由“数”构“形”,再由“形”构“式”。 2 一次函数与数形结合 例3 已知集合A = {(x，y)|，x，y∈R}，B ={(x，y)| y = ax＋2，x，y∈R}，若AB = ，求a的值． 解：集合A表示不含点(2，3)的直线： y = x＋1，集合B表示直线m：y = ax＋2． 当直线与直线m平行时，AB = ，此时a =1． 当直线m经过点(2，3)时，AB = ， 此时3 = 2a＋2，解得a =． 所以所求的a的值是1或． 评析：数学题目本来并无思想，她的思想是人给予的。本题应该是集合运算的范围的，但是我给这些数和式以“形”的直观，使抽象空洞的集合运算变得形象具体起来。 3函数不等式与数形结合 例4 解不等式 分析：令 ， 为两个不同的函数 画出函数的图象 的曲线是以c(-2,0)为圆心,以3为半径的上半圆, 的曲线是Ⅰ,Ⅲ两个象限角的平分线. 当时,有一个交点即=x x= 则由图观察可知其解集为 评析：本题当然也可用纯代数的方法解，但是用数形结合解就显得快捷得多，而且直观形象，一目了然，避免了复杂的计算与推理。 例5 解不等式|－|＜2． 解：原不等式变形为：|－|＜2，令y= 1，则有： |－|＜2 ⑴， 由双曲线的定义及性质，满足⑴式的点(x，y)是在双曲线(x－3)－= 1的两支之间，从而原不等式等价于混合组： 3－＜x＜3－． ∴原不等式的解集为3－＜x＜3－． 评析：这是一种典型的“由形到数”的解题模式，这样解题，使问题解得简单、直观、明了，省略了繁杂的运算。 4 函数方程与数形结合 在考试大纲上，是找不到“函数方程”这个考点的！函数方程所涉及的不是一个具体的知识内容，而是一种有指导