三角形全等(教师用).doc

例2?如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证：GD=GE． ????????????????????????????????????? 　　分析?从图形看，GE，GD分别属于两个显然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形．方法不止一种，下面证法是其中之一． 证?过E作EF∥AB且交BC延长线于F．在△GBD及△GEF中，?∠BGD=∠EGF(对顶角)，?① 　　∠B=∠F(两直线平行内错角相等)．?② 　　又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，所以，△ECF是等腰三角形，从而EC=EF．又因为EC=BD，所以BD=EF．?③ 　　由①，②，③△GBD≌△GEF(AAS)， 所以?GD=GE． 　　说明?适当添加辅助线、构造全等三角形的方法可以不止一种，本题至少还有以下两种方法： 　　(1)过D作DF∥AC，交BC于F．可用同样方法证明△GFD≌△GCE(图2-3)． 　　(2)过D作DF⊥BC于F；过E作EH⊥BC于BC延长线于H，可证明△GFD≌△GEH(图2-4)． ???????????????????????????????　 例3?如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ． 　　分析?首先看到BP，PQ在Rt△BPQ之中，只要证明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而，∠BPQ是△ABP的一个外角，所以∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°，若能证明∠PBA=∠PAC，问题即能解决，这两个角分别在△ABE与△CAD中，可以证明这两个三角形全等．　　证?在△ABE与△CAD中， 　　∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD， 　　所以△ABE≌△CAD(SAS)， 　　所以?∠ABE=∠CAD． 　　由于∠BPQ是△ABP的外角，所以 　　∠BPQ=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°． 　　在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，所以BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角的对边等于斜边的一半)． 　　说明?发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键，为此，我们常从发现两个三角形中对应元素相等入手，逐步发现或经推理“凑齐”三角形全等的条件．如本题在分析到欲证∠ABP=∠CAD后，进而把注意力集中到△ABE与△CAD中，这里，可适当利用几何直观感觉，启发我们寻找有希望全等的三角形，例如虽然△ABP与△APE都含欲证的角，但只需观察即可知，这两个三角形无望全等． 例4?如图2-6所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求证：∠AMB=∠DMC．　　分析1?从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A的平分线AG，则在△AGM中，∠GAM=45°=∠C．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM“应该”与△CDM全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA． 　　证法1?作∠BAC的平分线AG，交BM于G．在△AGB与△CDA中，因为 AB=CA，∠BAG=∠ACD=45°， 　　∠ABG=90°-∠AMB，?① 　　∠MAD=90°-∠EAB．?② 　　由于，在Rt△MAB中，AE⊥BM，所以∠AMB=∠EAB．由①，②，∠ABG=∠MAD，所以△AGB≌△ADC(ASA)， 　　于是?AG=CD． 　　在△AMG与△CMD中，还有AM=MC，∠GAM=∠DCM=45°， 　　所以?△AMG≌△CMD，从而?∠AMB=∠DMC． 　　分析2?如图2-7所示．注意到在Rt△ABM中，由AE⊥BM得到∠MAE=∠MBA，若延长AE，过C作CF⊥AC交AE延长线于F，可构成Rt△ABM≌Rt△ACF，从而有∠AMB=∠F．设法证明∠DMC=∠F，则问题获解． 证法2?引辅助线如分析2所述．在Rt△ABM与Rt△CAF中，∠ABM=∠CAF，AB=AC，及∠BAM=∠ACF=90°， 　　所以Rt△ABM≌Rt△CAF(ASA)， 　　所以∠AMB=∠F，AM=CF．?① 　　在△MCD与△FCD中，FC=AM=MC(因为M是AC中点)．由于∠ACF=90°，∠ACB=