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数学Ⅰ试题
参考公式
圆柱的体积公式:=Sh,其中S是圆柱的底面积,h为高。
圆锥的体积公式: Sh,其中S是圆锥的底面积,h为高。
填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
已知集合,,则集合中元素的个数为_______.
已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.
设复数z满足(i是虚数单位),则z的模为_______.
根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为________.
袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.
已知向量=(2,1),=(1,-2),若=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为______.
不等式的解集为________.
8.已知,,则的值为_______.
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列满足,且(),则数列前10项的和为 。
12.在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为 。
13.已知函数,,则方程实根的个数为 。
14.设向量,则的值为 。
二、解答题 (本大题共6小题,共90分.请在答题卡制定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)
在中,已知
(1)求BC的长;
(2)求的值。
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,已知.设的中点为D,
求证:(1)
(2)
(本小题满分14分)
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到的距离分别为5千米和40千米,点N到的距离分别为20千米和2.5千米,以所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数(其中a,b为常数)模型.
(I)求a,b的值;
(II)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式,并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.
(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
求椭圆的标准方程;
过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
19.(本小题满分16分)
已知函数。
(1)试讨论的单调性;
(2)若(实数c是与a无关的常数),当函数有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是,求c的值。
20.设是各项为正数且公差为d的等差数列
(1)证明:依次构成等比数列;
(2)是否存在,使得依次构成等比数列?并说明理由;
(3)是否存在及正整数,使得依次构成等比数列?并说明理由。
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.
1.2 2.6 3. 4.7 5. 6.-3 7. 8.3 9. 10. 11. 12. 13.4 14.
二、解答题
15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理,同角三角函数关系与二倍角公式,考查运算求解能力.满分14分。
解:
(1)由余弦定理知,,
所以.
(2)由正弦定理知,,所以.
因为,所以为锐角,则.
因此.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分。
证明:(1)由题意知,为的中点,
又为的中点,因此.
又因为平面,平面,
所以平面.
(2)因为棱柱是直三棱柱,
所以平面.
因为平面,所以.
又因为,平面,平面,,
所以平面.
又因为平面,所以.
因为,所以矩形是正方形,因此.
因为,平面,,所以平面.
又因为平面,所以.
17. 本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知
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