高中数学：复习不等式知识点及主要题型讲义含解答.doc

不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 三、基本不等式 1、若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2、如果a,b是正数，那么 变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号. 3、如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值; 如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值. 注： 1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有： 1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）； 3）若，则（糖水的浓度问题）。 不等式主要题型讲解 一、不等式与不等关系 题型一：不等式的性质 1、对于实数中，给出下列命题： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧，则。 其中正确的命题是______ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 2、设，，，试比较的大小 3、比较1+与的大小 4、若，则的大小关系是 . 二、解不等式 题型三：解不等式 5、解不等式： 6、解不等式。 7、解不等式 8、不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=_____, b=_______ 9、关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 10、解关于x的不等式 题型四：恒成立问题 11、关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________ 12、若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围. 13、已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。 三、基本不等式 题型五：求最值 14、（直接用）求下列函数的值域 1）y＝3x 2＋ 2）y＝x＋ 15、（配凑项与系数） 1）已知，求函数的