多维信号处理(第二章).ppt

图像与视频处理实验室 多维数字信号处理 主讲：陈绵书 第二章 多维信号的离散傅里叶分析 研究内容 研究多维离散傅里叶变换（DFT），考察其与傅里叶变换之间的关系； 研究计算有限区域序列的离散傅里叶变换的几个FFT算法。 多维DFT的两个要点 是有限区域序列的一种准确的傅里叶表示，也是多维周期序列的傅里叶级数展开； 变换存在潜在的周期性，可以开发有效算法。 2.1 矩形周期序列的离散傅里叶级数表示 矩形周期序列 满足条件 其中 和 是正整数。满足上式最小的 和 称为序列的水平周期和垂直周期。 基本周期 2.1 矩形…表示（续1） 二维离散傅里叶级数展开 复正弦 是矩形周期的，水平周期为 垂直周期为 为傅里叶级数系数 2.1 矩形…表示（续2） 周期序列的傅里叶级数与傅里叶变换的不同 周期序列没有傅里叶变换，不是绝对可和； 傅里叶级数系数公式上下限有限，且频率是整数； 离散傅里叶级数是可计算的变换。 2.1 矩形…表示（续3） 例 有周期序列， ， ， ， ， ，确定离散傅里叶级数的系数。 解 2.2 多维离散傅里叶变换 定义 有限区域序列生成周期序列 有限区域序列 ，支撑区为 ，则可以生成周期序列 同时有 将周期序列 看成有限区域傅里叶级数系数序列 的周期延拓 2.2 多维离散傅里叶变换（续1） 同时有 和 可以通过下式计算 2.2 多维离散傅里叶变换（续2） 离散傅里叶正变换 离散傅里叶逆变换 2.2 多维离散傅里叶变换（续3） 傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系 抽样定理 空域抽样可以表示频域限带信号，如果频域非限带，则空域抽样的频谱会造成混叠； 频域抽样可以表示空域限制信号，如果空域非限制，则频域抽样的时域信号会造成混叠； 2.2 多维离散傅里叶变换（续4） M维离散傅里叶变换 定义M维序列，其支撑区为 令对角矩阵 则M维DFT为 2.2 多维离散傅里叶变换（续5） 例 计算以下 点阵的三维DFT 解 可以表示为 令 则 2.2 多维离散傅里叶变换（续6） 2.2 多维离散傅里叶变换（续7） 例 计算 点阵的二维离散傅里叶反变换 其中， 解 2.2 多维离散傅里叶变换（续8） 2.2 多维离散傅里叶变换（续9） 离散傅里叶变换的性质 线性 如果 与 是任意有限区域序列，且 和 是任意复常数，则 支撑区的确定 若 的支撑区为 ， 的支撑区为 ，令 ， 2.2 多维离散傅里叶变换（续10） 定义两个区域已增大的序列为 序列 和 的支撑区为 ，且 2.2 多维离散傅里叶变换（续11） 循环移位 若一个有限区域序列循环移位，则DFT要乘上一个复指数 考虑周期序列 ，水平周期 ，垂直周期 ，离散傅里叶级数系数 。 令 是 的移位序列 则 和 的离散傅里叶级数系数的关系为 2.2 多维离散傅里叶变换（续12） 则定义 的循环移位序列为 即 其中 表示整变量 对 取模运算。 循环移位：从支撑区左边（或顶部）移出的抽样值，又重新出现在右边（或底部）。 2.2 多维离散傅里叶变换（续13） DFT 定义为 循环移位离散傅里叶变换对为 2.2 多维离散傅里叶变换（续14） 实 的对称性 如果 是实的，则有 其中 表示复共轭运算。因为 所以 是Hermitian对称的 2.2 多维离散傅里叶变换（续15） 对于复有限区域序列，定义Hermitian对称分量和反对称分量 由于 则可得 2.2 多维离散傅里叶变换（续16） 反射性 如果 则 Parseval定理 2.2 多维离散傅里叶变换（续17） 对偶性 如果