第3章_高次单元及等参单元.ppt

3.1 概述 连续体弹性力学分析有限元法的一般过程 1、 高次三角形单元 一、 面积坐标 一、 面积坐标 一、 面积坐标 二、 高次三角形单元及插值函数 二、 高次三角形单元及插值函数 三、6结点二次三角形单元 三、 6结点二次三角形单元 三、 6结点二次三角形单元 三、 6结点二次三角形单元 四、 10结点三次三角形单元 2. 10结点三次三角形单元 1、单元局部坐标 2、单元位移函数和形函数 2、单元位移函数和形函数 2、单元位移函数和形函数 2、单元位移函数和形函数 3、单元应变与应力 3、单元应变与应力 4、单元刚度矩阵 5、四结点矩形单元特点 1、任意四边形单元及母单元 2、坐标变换 3、整体坐标系下形函数的偏导数 4、单元应变与应力 5、单元刚度矩阵 1、体积坐标 1、体积坐标 2、 高次四面体单元的形函数 2、 高次四面体单元的形函数 3、常应变四面体单元 3、常应变四面体单元 3、常应变四面体单元 3、常应变四面体单元 3、常应变四面体单元 3、常应变四面体单元 3、常应变四面体单元 3.5 五面体单元 1、6结点线性三棱柱单元 2、15结点二次三棱柱单元 3.6 六面长方体单元 1、8结点六面长方体单元 2、20结点六面长方体单元 3、 六面体等参元 1、等参元的概念 2、等参元的坐标变换 2、等参元的坐标变换 3、等参元的单元矩阵变换 3、等参元的单元矩阵变换 3、等参元的单元矩阵变换 3、等参元的单元矩阵变换 3、等参元的单元矩阵变换 3、等参元的单元矩阵变换 3、等参元的单元矩阵变换 3、等参元的单元矩阵变换 3、等参元的单元矩阵变换 3、等参元的单元矩阵变换 4、等参元常见错误 5、等参元小结 平面问题 y x 在ξ=C上的曲线上（坐标线）的弧微分： (3) 面积坐标与整体坐标之间的变换 1. 体积坐标(面积坐标)不完全独立 此时，母单元为 一般体积分 在 表面上， ，表面上可写为： 2. 积分公式 L3 L2 L1 (4) 单元特性矩阵变换 1. 自然坐标为-1≤ξ≤ 1、 -1≤η≤1、 -1≤ζ≤1： 在η=c、ζ=c面上也类似。 2. 自然坐标为0≤L1≤ 1、 0 ≤L2≤1、 0 ≤L3≤1： 在η=c、ζ=c面上也类似。 单元内点号次序错，造成 ，不允许； b. 两点同一造成 ，不允许； c.单元形状不能太长，太歪，至少影响精度，过分严重的会影响整个方程组的解。 1 x y 3，4 2 1 2 3 4 x y 1 x y 3 2 4 等参元在有限元法中占有重要位置,采用坐标变换,可使局部坐标系中的形状规则的单元变换为总体坐标系内形状扭曲的单元,易采用数值积分方法 在计算单元特性矩阵时,要进行导数、体积、面积、长度的相关变换。掌握相应的变换方法是等参元应用的重要环节。 为了保证等参变换，单元的形状不要过分扭曲。 数值积分方式与积分阶次的选择是影响数值计算性质的重要因素之一。 常用的等参元有：四、八、十二结点四边形等参元；六、十结点三角形等参元；8、20结点六面体等参元等。 子单元边界上结点应尽可能是或接近等分点，避免产生奇异单元，可能情况下应采用直边子单元。 式中： 式中： 式中： 式中： 几何矩阵Be 应力转换矩阵Se 是ξ、η的函数。 体力的等效结点力： 面力的等效结点力： 1 2 0 4 3 母单元 x y 1 2 3 4 四边形单元 3.5 四面体单元 一、体积坐标定义 二、体积坐标的特点： 1、一点的四个体积坐标是 线性相关的 2、0≤Li≤1 (i, j, m, k)，当Li为常数时，表示Vijmk内平行于jkm面的面。 x y z i j k m P 四面体ijkm中有任意一点P，P点的体积坐标定义为： V为四面体ijkm的体积 Vi为四面体pjkm的体积 Vj为四面体pmik的体积 Vk为四面体pmij的体积 式中： 3、在四个结点上： Vm为四面体pijk的体积 x y z i j k m P 3、体积坐标与整体坐标的关系 4、体积坐标积分公式 四面体单元同样可以采用自然（体积）坐标来形成具体的形函数。 1、 4结点一次四面体单元（一次单元） 类似推导： 结点1： x y z 3 2 4 1 P 用体积坐标表示的p次形函数为： 式中： ：为 在结点 i 的取值；是结点i到平面 j 的正则化距 离（也即体积坐标值）。 ：为除结点i外的其余结点所在各平面方程 　 的左端。 2、10结点二次四面体单元 3、20结点三次四面 体