虚功原理和结构位移(404宿舍).ppt

土木工程2010-1班 变形体体系的虚功原理 图乘法的应用 图乘法的应用 例：求图（a）所示结构A、B两截面的相对转角 和相对水平位移，EI为常数。 静定结构在温度改变作用时的位移计算 线弹性结构的互等定理 B A M=1 M=1 (c) 1 1 1 1 1 1 B A 2M 2M (b) B A l l l l FP=1 FP=1 (d) 对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘，结果为零！ 静定结构在温度改变作用下，不产生反力和内力，但结构会产生变形体体系位移。结构的变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。 其中，结构实际位移中杆件的轴向线应变为?、平均切应变为?0、轴线曲率为?。 结构位移计算的一般公式为 温度改变单独作用下，结构变形体系体系位移计算公式为 例：图（a）所示钢架，各杆外侧温度升高10°C，内侧温度升高20°C，线膨胀系数为α，各杆横截面均为矩形，截面高为l/10，求D点的水平位移。 解：（1）杆件的轴线温度t0为 杆件上、下边缘的温差?t为 A B C D (a) l l/2 l/2 +10°C +20°C A B C D l/2 l/2 l/2 FP=1 (b) A B C D FP=1 1 1 (c) （3）利用在外界因素温度作用下，静定结构位移计算公式得 互等定理仅适用于线性变形体系，其应用条件为：a.材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；b.结构变形很小，不影响力的作用。 反力互等定理 位移反力互等定理 位移互等定理 功的互等定理 * * * * * * Page ? * * * Page ? * 虚功原理和结构位移计算 虚功原理 线弹性结构的互等定理 图乘法 结构位移的一般计算 温度改变而引起的位移计算 虚功原理（Principle of Virtual Work） 对于具有理想约束的刚体体系，设体系上作用任意的平衡力系，又假设体系由于某种外界因素发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和W恒等于零。 设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做外虚功We恒等于各个微段的应力合力在变形上所做的内虚功Wi。 W=0 Wi=We 刚体体系虚功原理 虚设位移状态——求未知力 例：利用单位支座位移法计算下图（a）所示静定多跨梁C支座的反力FCy，设Fp1=Fp2=Fp。 (1) 去掉与FCy对应的约束，代以主动力Z，如 图(b)所示。 (2) 让机构发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，如图(c)所示。 另δZ=1，利用几何关系得到δp1=-3/2，δp2=3/4. (3) 建立虚功方程为 ZδZ+Fp1δp1+Fp2δp2=0 将δZ=1，δp1=-3/2，δp2=3/4，Fp1=Fp2=Fp代入上式得到 FCy=Z=3Fp/4（向上） A B C D E F a 2a a a 2a Fp1 FCy Fp2 (a) A B C D E F Z (b) δP2 A B C D E F δZ=1 δP1 (c) 刚体体系虚功原理 虚设力系——计算位移 例：如图所示三铰刚架右边支座的竖向位移为?By=0.06m（向下），水平位移为?Bx=0.04m（向右），已知l=12m，h=8m。试求由此引起的A端转角φA。 l/2 l/2 h C A B ?Bx ?By 解：虚拟状态如左图所示， 取整体为研究对象 取右半刚体为研究对象 求解得 C 1 A B 结构的位移计算 其中，结构实际位移中杆件的轴向线应变为?、平均切应变为?0、轴线曲率为?。 结构在荷载作用下的位移计算公式 例：计算如图（a）所示悬臂梁在B点的竖向位移?，设梁的截面为矩形。 q B A x l （a） 解：虚设单位荷载，如图（b）所示 B A x 1 (b) 取B点为坐标原点，利用截面法求出任一截面x内力分别为： 虚设荷载作用 实际荷载作用 B A x 1 (b) 于是B点的竖向位移为 弯曲变形产生的位移为 轴向变形产生的位移为 剪切变形产生的位移为 图乘法是Vereshagin于 1925年提出的，他当时 为莫斯科铁路运输学院 的学生。 几种常见图形的面积和形心的位置： (a+l)/3 (b+l)/3 ω=hl/2 l a b h l/2 l/2 h 二次抛物线ω=2hl/3 h 3l/4 l/4 5l/8 3l/8 二次抛物线ω=hl/3 二次抛物线ω=2hl/3 4l/5 l/5 h h 三