《高等数学》（指导书）第9章 曲线积分与曲面积分.docVIP

第九章 曲线积分与曲面积分 一、知识结构图与学习要求 （一）知识结构图 （二）学习要求 （1）理解两类曲线积分的概念. （2）了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的相互关系. （3）熟练掌握两类曲线积分的计算. （4）理解格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数. （5）了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面积分. （6）了解散度与旋度的概念，并会计算. （7）会用曲线积分和曲面积分求一些几何量和物理量（曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）． 二、内容提要 （一）对弧长曲线积分（第一类曲线积分） 1．对弧长的曲线积分的概念 设是面内的一条光滑曲线弧，函数在上有界，则定义在上对弧长的曲线积分为 ． 若是空间的一条曲线，可以类似平面的情形，对弧长的曲线积分定义为 ． 2．对弧长的曲线积分的性质 （1）． （2）. （3）, (其中). 3．对弧长的曲线积分计算 （1）设平面上光滑曲线的参数方程为 ，，,（）． : , 则 . （2）当曲线的方程为时，可将的参数方程设为 ， 则 ．（3）当曲线的方程为时，可将的参数方程设为 ， 则 ．的线密度为，则其质量为. （2）利用曲线积分求重心坐标： 设空间曲线的线密度函数为，则重心坐标可由下式给出，即 ， ， ， 其中． （3）求转动惯量： 设平面曲线弧上任意一点处的线密度为， 则绕轴、轴和原点的转动惯量分别为 ， ， ． 设空间曲线弧上任意一点处的线密度为，则绕轴、轴、轴和原点的转动惯量分别为 ， ， ， ． 5．对弧长的曲线积分的几何意义 当时，表示曲线的弧长． （二）对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） 1．对坐标的曲线积分的概念 设为面内从点到的一条有向光滑曲线弧，函数、在上有界．则定义函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分为 ， 类似可以定义对坐标的曲线积分为 ． 常见的还有如下的组合形式 ． 2．对坐标的曲线积分的性质 （1）, (其中). （2） 设表示与反向的光滑曲线弧，则 ． 3．对坐标的曲线积分的计算 （1）若曲线的参数方程为，且当单调地由变化到时，曲线从的起点运动到点,则 =． 该公式可以推广到空间曲线: 则 , 其中对应于的起点,对应于的终点. （2）若曲线的方程为，可将的参数方程设为从变化到，则 ． （3）若曲线的方程为，可将的参数方程设为从变化到，则 ▲注 在计算此类曲线积分时候，积分下限值对应于曲线的起点的参数值，，，则变力沿平面曲线所作的功为 ． 同理可利用对坐标的曲线积分求变力沿空间曲线所作的功． 5．两类曲线积分之间的关系 （1）平面曲线的情形： ， 其中为有向曲线上点处的切向量的方向余弦． （2）空间曲线的情形： ， 其中为有向曲线上点处的切向量的方向余弦． (三)格林公式、曲线积分与路径无关的条件 1．格林公式 设平面闭区域由分段光滑的曲线围成，函数，在上具有一阶连续偏导数，则有 ， 其中是的取正向的边界曲线． 2．积分与路径无关的条件 设在单连通区域内有连续的一阶偏导数，则下列四个命题等价： a．在内积分与路径无关； b．，为内任一闭曲线； c．； d．存在可微函数，使得，且有 ， 其中为内任一点． （四）对面积的曲面积分（第一类曲面积分） 1．对面积的曲面积分的概念 设曲面是光滑的，函数在上有界．则定义函数在曲面上对面积的曲面积分为 ． 称dS为曲面面积元素，且曲面的面积为． 2．对面积的曲面积分的性质 （1）． （2）, (其中). 3．对面积的曲面积分的计算 （1）若曲面由方程给出，面上的投影区域为，在上具有连续偏导数，在上连续( 则 ．的方程为，为在面上的投影区域( 则函数在上对面积的曲面积分为 ． 的方程为，在面上的投影区域，则函数在上对面积的曲面积分为 ．为空间曲面，曲面上任意一点处的面密度为，则 （1）空间曲面薄片的面积，其中为曲面的面积． （2）曲面薄片绕轴、轴、轴和原点的转动惯量分别为 ， ， ， ． （3）曲面薄片的质量 ． （4）若曲面薄片的重心坐标，则有 ，，． 5．对面积的曲面积分的几何意义 的面积． （五）对坐标的曲面积分（第二类曲面积分） 1．对坐标的曲面积分的概念 设为光滑的有向曲面，函数在上有界．则定义函数在有向曲面上对坐标，的曲面积分为 ． 类似地可定义 ， ． 通常将简记为 ． 2．对坐标的曲面积分的性质 （1） 其中 （2）， 其中表示与相反侧