《高等数学》第02章 导数与微分习题详解.docVIP

第二章 导数与微分 习题2-1 1.解：当自变量从变到时，相应地从变到，所以导数 . 2.解：由导数的定义可知 。 3．解： 4. 解：（1）不能，（1）与在的取值无关，当然也就与在是否连续无关，故是存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价. 5. 解：（1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 6. 解：物体在时刻的运动速度为：，故物体在时的速度为：. 7．证明：由导数定义，知： 所以，。 8. 解：，故在点的切线平行于直线；同理在点的切线垂直于直线. 9.解：过点的直线的斜率为：，而，令，得：，所以该抛物线上过点的切线平行于此割线. 10.解：（1）连续，但因为 因而，即导数为无穷大。 （2），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处可导. 11.解：要使函数在处连续且可导，则应满足 存在， ， 又 ， 要使存在，则， 。 12.解：因为 ，所以不存在. 13.解：当时，是初等函数，所以；同理，当时；当时，，故，所以或. 14．(1)证明：设，且可导，则由导数定义 即结论可证。 (2)略. 15.解：当时，不妨设，则在的某一邻域中有，故，所以在处也可导； 当时，由于，其中 ，分别在处计算左、右极限，得在处的左导数为，右导数为，所以在处也可导的充分必要条件。 16.略 17.略 习题2-2 1.解：（1）；（2）；（3）； （4）； （5）；（6）； （7）；（8）； （9）；（10）. 2．解：（1） （2）。 3．解：（1）； （2）同理可证。 4.解：（1），； （2）同理可求. 5.解：当时，，则，所以，故 切线方程为. 6.解：（1） ； （2）； （3） ； （4）； （5）； （6） ； （7）； （8）； （9）； （10）. 7.解：（1）； （2）； （3） ； （4） ； （5） =； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） . 8.解：当时，；当时； 在分段点，由导数定义知 所以，在也可导，故在上都可导。 9．解：（1）， ； 10.解：（1）； （2）； （3）. 11.解：（1）； （2）. 习题2-3 1.解：（1）； （2）； （3） ； （4），； （5）， （6）. 2.解：因为，运用莱布尼茨公式得 . 3.解： 。 4．解：（1）； （2）。 5．证明：； ； 故有 6.解：（1）； （2） 依次类推就可以导出它的一般规律 （3）； 一般地，可得 即 。 （4） 一般地，可得 . 习题2-4 1.解：（1）两边关于求导，得 ， 整理可得 ； （2）两边关于求导，得 ， 整理可得 ； （3）两边关于求导，得 ， 整理可得 ； （4）两边关于求导，得 ， 整理可得 . 2.解：两边关于求导，得 整理可得 ，，所以曲线在点处的切线方程为 ，即. 3.解：对两边关于求导，得 整理可得，，则。 4.解：（1）应用隐函数的求导方法，得 解得：，对此式再对求导 。 （2）应用隐函数的求导方法，得 ，对此式两边再对求导，得 . 5.解：两边取对数， ， 再分别求导数， 于是求得。 （2）先两边取对数，得 对上式两边关于求导，得 ，于是。 （3）先两边取对数，得 对上式两边关于求导，得 即 ； （4）先两边取对数，得 对上式两边关于求导，得 即 . 6.解：（1）， 由参数方程的求导公式，得 ； （2）， 由参数方程的求导公式，得 ； 7.解：， 由参数方程的求导公式，得 ； ，对应的点为，故 切线方程为： 法线方程为：. 8.解：， 由参数方程的求导公式，得 又曲线在过原点，得 （1） （2） 又已知曲线与直线平行，故 （3） 联立（1）（2）（3）可解得： 。 9.解：（1）， 由参数方程的求导公式，得，对此式再求导，得 ， 即 ； （2），对此式再求导，得 。 10.解：设在时刻漏斗中水面高度为，漏斗在高为处的截面圆的半径为，桶中水面的高度为. （1）建立变量与之间的关系 因任何时刻，漏斗中的水量与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，设水的密度为1，则有 又因为，所以，代入上式，得 （2）对上式关于求导，得 ，解得。 由已知，当时， ，代入上式得， 故桶中水面上升的速度为。 习题2-5 1.解：， 当时，， 当时，. 2.解：， ， 当时，，； 当时，，。 3.解：因为， 所以，由变到时，在处的微分为 。 4.解：（1）因为，所以； （2）因为，