《高等数学》第八章 重积分（电子讲稿）.docVIP

第八章 重积分 本章和下一章是多元函数积分学的内容．在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限．这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念．本章将介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、性质、计算以及它们的一些应用． 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积 设有一个立体，它的底是面上的闭区域（为简便起见，本章以后除特别说明外，都假定平面闭区域和空间闭区域是有界的，且平面闭区域有有限面积，空间闭区域有有限体积），它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面，这里且在上连续（图81），这种立体叫做曲顶柱体．现在我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积. 我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式 体积=底面积×高 来定义和计算．关于曲顶柱体，当点在区域上变动时，高度是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算．但如果回忆起第五章中求曲边梯形面积的问题．就不难想到，那里所采用的解决方法，原则上可以用来解决目前的问题． 首先，用一组曲线网把分成个小闭区域 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体．当这些小闭区域的直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于连续，对同一个小闭区域来说，变化很小，这时细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体．我们在每个（这小闭区域的面积也记作）中任取一点，以为高而底为的平顶柱体（图82）的体积为 这个平顶柱体体积之和 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值．令个小闭区域的直径中的最大值（记作）趋于零，取上述和的极限，所得的极限便自然地定义为所讨论曲顶柱体的体积，即 2. 平面薄片的质量 　　设有一平面薄片占有面上的闭区域，它在点处的面密度为，这里且在上连续．现在要计算该薄片的质量. 　　我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量可以用公式 质量=面密度×面积 来计算．现在面密度是变量，薄片的质量就不能直 接用上式来计算．但是前面用来处理曲顶柱体体积问题的 方法完全适用于本问题． 由于连续，把薄片分成许多小块后，只要小块 所占的小闭区域的直径很小，这些小块就可以近似地 看作均匀薄片．在上任取一点，则 可看作第个小块的质量的近似值（图83）．通过求和、取极限得出 上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限．在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限．因此，我们有必要研究这种和的极限的一般形式，抽象出下述二重积分的定义． 设是有界闭区域上的有界函数．将闭区域任意分成个小闭区域 其中表示第个小闭区域，也表示它的面积．在每个上任取一点，作乘积 ，并 作 和 ． 如果当每个小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在， 则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作，即 (1) 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和． 　　在二重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计） ，其余的小闭区域都是矩形闭区域．设矩形闭区域的边长为和，则，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素记作，而把二重积分记作 其中叫做直角坐标系中的面积元素． 这里我们要指出，当在闭区域上连续时，（1）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数在上的二重积分必定存在．如无特别说明，本章总是假定函数在闭区域上连续，所以在上的二重积分都是存在的． 由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数在闭区域上的二重积分 平面薄片的质量是它的面密度在薄片所占闭区域上的二重积分 一般地，如果，被积函数可解释为曲顶柱体的顶在点处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果是负的，曲顶柱体就在面的下方，二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果在的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么，在上的二重积分就等于面上的曲顶柱体体积减去面下方的曲顶柱体体积所得之差． 二、二重积分的性质 比较定积分与二重积分的定义可以想到，二重积分与定积分有类似的性质，现叙述如下： 　　性质1　设为常数，则 性质2　如果闭区域被有限条分段光滑曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和． 例如分为两个闭区域与， 则 该性质表示二重积分对于积分