《数学分析》(华师大二版)课本上的习题22.docVIP

第二十二章 曲线积分与曲面积分 P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分 计算下列第一型曲线积分： （1）为顶点的三角形； （2），其中L是以原点为中心，R为半径的右半圆周； （3），其中为椭圆在第一象限中的部分； （4），其中为单位圆； （5），其中为螺旋线的一段； （6），其中为曲线的一段； （7）,其中是与相交的圆周． 求曲线的质量．设其线密度为 求摆线的重心，设其质量分布是均匀的． 计算下列第一类型曲面积分： （１）,其中是上半圆面； （２），其中为立体的边界曲面； （３）其中为柱面被平面所截取的部分； （４），其中为平面在第一卦限中的部分； 若曲线以极坐标表示，试给出计算的公式，并用此公式计算下列曲线积分： （１），其中为曲线的一段； （２），其中为对数螺线在圆内的部分． 设有一质量分布不均匀的半圆弧，其线密度 （为常数），求它对原点处质量为的质点的引力． 证明：若函数在光滑曲线上连续，则存在点 ，使得，其中为的长． 计算，其中为圆锥表面的一部分： 　　　　　 这里为常数 P.371 第二型曲线积分 计算第二型曲线积分： （１），其中为本节例２中的三种情形． （２），其中为摆线沿增加方向的一段； （３），其中为圆周，依逆时针方向； （４），其中为与轴所围的闭曲线，依顺时针方向； （５），其中：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段． 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由沿椭圆移动到，求力所作的功。 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到平面的距离成反比。若质点沿直线从到，求力作的功。 证明：曲线积分的估计式：其中为的弧长， ，利用上述不等式估计积分，并证明： 。 ５.计算沿空间曲线的第二型曲线积分： （１），其中Ｌ：相交的圆，其方向按曲线依次经过１，２，７，８卦限； （２），其中为球面在第一卦限部分的边界曲线，其方向按曲线依次经过平面部分，平面部分和平面部分． P.381 格林公式 曲线积分与路线无关性 应用格林公式计算下列曲线积分： （１），其中为圆周的正向； （２），其中是以为顶点的三角形，方向取正向； （３），其中为常数，为由到经过圆上半部的路线（其中为正数）。 ２. 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积： 椭圆： 双扭线：． ３. 验证下列积分与路线无关，并求它们的值： （1） （2）沿在右半平面的路线； （3）沿不通过原点的路线； （4），其中为连续函数. 4. 求下列全微分的原函数： （1） （2） （3） 5. 为了使线积分与积分路线无关，则可微函数应满足怎样的条件？ 6. 计算曲线积分其中 和为连续函数; 为连接点的任何路线，但与线段围成已知大小为的面积. 7. 设函数 具有一阶连续导数，证明对任何光滑闭曲线，有. 8. 求积分值，其中为包围有界区域的闭曲线，为的外法线方向. 9. 设函数在光滑闭曲线所围成的区域上具有二阶连续偏导数。证明 ， 其中沿外法线方向的导数。 P.391 第二型曲面积分 计算下列第二型曲面积分： （1），其中为六个平面所围的正方体并取外侧为正向； （2），其中是以原点为中心，边长为2的正方体表面并取外侧为正向； （3），其中是由平面所围的四面体表面并取外侧为正向； （4），其中是球面的上半部分并取外侧为正向； （5），其中是球面并取外侧为正向。 设某流体的流速为，求单位时间内从球面的内部流过球面的流量. 计算第二型曲面积分其中是平面六面体的表面并取外侧，为上的连续函数. 设磁场强度为，求从球内出发通过上半球面的磁通量。 P.399 高斯公式与斯托克斯公式 应用高斯公式计算下列曲面积分： （1），其中是单位球面的外侧； （2），其中是立方体表面的外侧； （3），其中是锥面与平面所围的空间区域的表面，方向取外侧； （4），其中是单位球面的外侧； （5），其中是上半球面的外侧。 2. 应用高斯公式计算三重积分，其中是由 与所确定的空间区域. 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： （1），其中为与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； （2）其中为所交的椭圆的正向； （3），其中为以为顶点的三角形沿的方向。 求下列全微分的原函数： （1） （2） 验证下列线积分与路线无关，并计算其值： （1） （2）,其中在球面上. 6. 证明: 由曲面包围的立体的体积等于,其中 为曲面的外法线方向余弦. 证明: 若为封闭曲面,为任何固定方向,则,其中为曲面的外法线方向. 证明:公式其中是包围的曲面,为的外法线方向, 若是平面上的闭曲线,它所包围区域的面积为,求 其中依正向进行. P.409 场论初步 若 .计算。 求在点的梯度，并求梯度为零之点。 证明本节第二段关于梯度的一些基本性质1~5。 计算下列向量场