1011高考数学函数真题.docVIP

2011年 （北京卷第18题） 已知函数。 （）求的单调区间；（）若对于任意的，都有≤，求的取值范围（） 令，得. 当k0时，的情况如下 x () (,k) k + 0 — 0 + ↗ ↘ ↗ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k0时，的情况如下 x () (,k) k — 0 + 0 — ↘ 0 ↗ ↘ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是（）当k0时，因为，所以不会有 当k0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是 所以等价于 解得. 故当时，k的取值范围是，其中常数满足。 （1）若，判断函数的单调性； （2） 若，求时的取值范围。 标准答案： （1） 当时，任意，则 ∵ ，， ∴ ，函数在上是增函数。 当时，同理，函数在上是减函数。 （2） 当时，，则； 当时，，则。 （天津卷第19题） 已知（的图像连续不断） （）的单调区间； （）时，证明：存在，使； （3）若存在均属于区间的，且，使，证明 ．， 令 当x变化时，的变化情况如下表： + 0 - 极大值 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （2）证明：当 由（I）知在（0，2）内单调递增， 在内单调递减. 令 由于在（0，2）内单调递增， 故 取 所以存在 即存在 （说明：的取法不唯一，只要满足即可） （3）证明：由及（I）的结论知， 从而上的最小值为 又由，知 故 从而 （重庆卷第18题） 设的导数满足，其中常数. （1）求曲线在点处的切线方程； (2) 设，求函数的极值. 标准答案： （I）因故 令 由已知 又令由已知 因此解得 因此 又因为故曲线处的切线方程为 （II）由（I）知， 从而有 令 当上为减函数； 当在（0，3）上为增函数； 当时，上为减函数； 从而函数处取得极小值处取得极大值 （浙江）（22）（本题满分14分）设函数＝，∈R （Ⅰ）若＝为的极值点，求实数； （Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈（0,3]，恒有≤4成立. 注：为自然对数的底数。 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。 （I）解：求导得 因为的极值点， 所以 解得经检验，符合题意， 所以 （II）解：①当时，对于任意的实数a，恒有成立； ②当时，由题意，首先有， 解得， 由（I）知 令 且 又内单调递增 所以函数内有唯一零点， 记此零点为 从而，当时， 当 当时， 即内单调递增，在内单调递减， 在内单调递增。 所以要使恒成立，只要 成立。 由，知 （3） 将（3）代入（1）得 又，注意到函数内单调递增， 故。 再由（3）以及函数内单调递增，可得 由（2）解得， 所以 综上，a的取值范围是 （江苏）19．（本小题满分1分）已知是实数，函数，和是的导函数若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致 （1）设，若和在区间上单调性一致求实数的取值范围 （2）设且，若和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值 解析：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即 即 （2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以， 即， 设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为 则； 当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以， 即， 当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以， 即而x=0时，不符合题意， 当时，由题意： 综上可知，。 （广东）21.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系上,给定抛物线:,实数满足,是方程的两根，记. （Ⅰ）过点作的切线交轴于点.证明:对线段上任一点有 （Ⅱ）设是定点，其中满足,.过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交与.线段上异于两端点的点集记为.证明:; （Ⅲ）设.当点取遍时，求的最小值(记为)和最大值(记为). 【解析】（Ⅰ）因为,所以,过点的切线方程为 即,从而,又在直线上,故,其中 所以方程为,解得, 由于,且同号,所以,所以 （Ⅱ）过点且切点为的的切线方程为: 因为,所以且,因为, 所以,即 即,所以,所以 因为,且同号,所以 反之也成立,所以, 由（Ⅰ）可知,,反之,逆推也成立,所以 综上,. （Ⅲ）此题即求当点取遍时,方程的绝对值较大的根的最大值与最小值, 解方程得,因为, 令,解得或，所以， 因为，所以，于是 所以，所以 设（），令，则 则，所以 综上，当或时，；当时，. （山东）21. （本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），