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2013届南通中学高三数学周末练习 一、填空题 1．已知奇函数的图像关于直线对称，当时，，则＝ ； 【解析】函数周期为4，于是. 2.设函数，若曲线在点处的切线方程为，则 ； 【解答】由题知， 又因为切点在切线上于是有。 3.已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线 在点P处的切线方程是 ； 【解析】根据导数的几何意义可知，曲线在点P处的切线的斜率等于，又过点P（2，0），所以切线方程 4.设是由满足下列性质的函数构成的集合：在定义域内存在，使得成立．已知下列函数：①；②；③；④，其中属于集合的函数是 （写出所有满足要求的函数的序号）；【解答】②④ 5.已知函数，给出下列四个命题：①为奇函数的充要条件是；②的图象关于点对称；③当时，方程的解集一定非空；④方程的解的个数一定不超过两个。其中所有正确命题的序号是 ；【解析】 (1)(2)(3) 6.设定义在R上的函数满足对，且，都有，则的元素个数为 ；【解析】０或１ 7．设，若函数存在整数零点，则的取值集合为 ； 【解析】由题中，若函数知，，又因为当时,于是只能取0,6,1,10这四个数字，代入求的；当时，求的也符合题意，于是. 8.已知实数满足，，则的取值范围是 【解析】将代入，并化简，构造关于的一元二次方程：，该方程有解，则，解得 9．在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为 ； 【解析】设切点为，则切线的斜率，切线方程为，，所以 10.已知函数f(x)= (a∈R)，若对于任意的X∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是 ；【解答】 11.若关于x的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是 ； 【解析】由题意易得，已知条件可等价化为，转化为满足恰有2个整数解，运用数形结合思想，利用绝对值函数的图像可得，解得，所以实数的取值范围 是。 12.已知函数，若，且，则的取值范围为 ； 【解答】由函数图像知：函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，由知，于是并且 二次函数对称轴为，在区间上单调递减，于是。 13.已知函数,若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ▲ ．【解析】 14.已知函数,,设,且函数的零点均在区间内,则的最小值为 【解析】由可知，函数的零点的零点或的零点。 ，当时，成立， ，当时，也成立，即恒成立，所以在上单调递增。， 的惟一零点在内，的惟一零点在内。同理的惟一零点在内，因此 二、解答题 15.一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为. ⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率； ⑵求的分布列及的数学期望. 【解析】（1）记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件，依题意知 所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为 （2） 所以的分布列为 所以的数学期望 16.⑴当时，求证：是正整数； ⑵试证明大于的最小整数能被整除（）. 【解析】（1） 的偶数次幂均为正整数，是正整数. ⑵因为由（1）知为正整数，所以大于最小整数为， 由二项式定理可知是一偶数，所以大于的最小整数能被整除（）. 17．即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次。每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数。(注: 营运人数指火车运送的人数) 【解析】设这列火车每天来回次数为次，每次拖挂车厢节 2分 则设 由 解得 4分 设每次拖挂节车厢每天营运人数为人 1分 则 2分 当时,总人数最多为15840人 2分 答:每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人. 1 18.函数，()，集合， （1）求集合；（2）如果，对任意时，恒成立，求实数的范围； （3）如果，当“对任意恒成立”与“在内必有解” 同时成立时，求 的最大值． 【解析】（1）令，则、即即，、，…3分，所以，所以，即