2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八张阳阳.doc

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八 命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳 一、选择题（36分，每小题6分） 本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．已知a为给定的实数，那么集合M={x| x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为 （A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 不确定 【答】（ C ） 【解】 方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a20，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集． 2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点; 命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 （A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个 【答】（ B ） 【解】 只有命题1对． 3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递增的偶函数是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| 【答】（ D ） 【解】 y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2为周期．y=|ctgx|在（0，）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件． 4．如果满足∠ABC=60°，AC=12， BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是 （A） k= （B）0k≤12 （C） k≥12 （D） 0k≤12或k= 【答】（ D ） 【解】 根据题设，△ABC共有两类如图． 易得k=或0k≤12．本题也可用特殊值法，排除（A）、（B）、（C）． 5．若的展开式为， 则的值为 （A） （B） （C） （D） 【答】（ C ） 【解】 令x=1可得=； 令x=可得0=； （其中，则=1且++1=0） 令x=可得0=． 以上三式相加可得=3（）． 所以=． 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）． （A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定 【答】（ A ） 【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x、y元/枝． 则6x+3y24,4x+5y22.令6x+3y=a24,4x+5y=b22,解出x=,y=. 所以2x-3y==0，即2x3y． 也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究． 二、填空题（54分，每小题9分） 7．椭圆的短轴长等于． 【解】 故．从而． 8．若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2=，则z1·z2=． 【解】 由3z1-2z2== 可得．本题也可设三角形式进行运算． 9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是． 【解】 作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=． 10. 不等式的解集为． 【解】 等价于或． 即或． 此时或或． ∴解为x 4或0x1 或 1x． 即解集为． 11．函数的值域为． 【解】 ． 两边平方得，从而且． 由或． 任取，令，易知，于是且． 任取，同样令，易知， 于是且． 因此，所求函数的值域为． 12． 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案． 【解】 考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法． 考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A、C、E种三种植物，此时共有P43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1a2） ，．试求{an}的首项与公差． 【解】 设所求公差为d，∵a1a2，∴