2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十张阳阳.doc

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十 命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳 一、选择题（36分） 1．给定公比为 q ( q≠ 1)的等比数列{ a n }，设 b 1 = a 1 + a 2 + a 3 , b 2 = a 4 + a 5 + a 6 ,…, b n = a 3 n -2 + a 3 n -1 + a 3 n ,…，则数列{ b n }(???) ( A )是等差数列? ???????????????( B )是公比为 q 的等比数列 ( C )是公比为 q 3 的等比数列? ???( D )既非等差数列也非等比数列 解析：(C).　　由题设，an=a1qn-1 ，则　　　　因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列． 2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (| x |-1) 2 +(| y |-1) 2 ＜2的整点( x , y )的个数是(??? ) ( A )16?????( B )17??????( C )18???????( D )25 解析：(A)　　由(|x|-1)2+(|y|-1)22,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个． 3．若(log23)x-(log53)x ≥(log23)-y-(log53)-y，则(??? ) ( A ) x - y ≥0????? ( B ) x + y ≥0?????? ( C ) x - y ≤0??????? ( D ) x + y ≤0 解析：(B)　　记f(t)=(log23)t-(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(-y)．　　故x≥-y，即x+y≥0． 4．给定下列两个关于异面直线的命题： 命题Ⅰ：若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线，直线 c 是 α 与β 的交线，那么， c 至多与 a , b 中的一条相交； 命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。 那么，(??? ) ( A )命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确????? ( B )命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 ( C )两个命题都正确??????????????? ( D )两个命题都不正确 解析：(D)． 　　如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确． 5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是(??? ) ( A )0????????( B )1?????????( C )2??????????( D )3 解析：(B)　　设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题意，可得 ，即 =44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数． 6．已知点 A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线 y 2 =4 x 交于另外两点 B , C ，那么，△ ABC 是(??? )  ( A )锐角三角形??? ( B )钝角三角形? ? ?( C )直角三角形???? ( D )答案不确定 解析：(C)　　设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为 ，化得2x-(s+t)y+2st=0．　　由于直线BC过点(5，-2)，故 2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即 (s+1)(t+1)=-4．　　因此， .　　所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形． 二、填空题（54分） 7．已知正整数 n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的 n 的个数是___________. 解析： 6．　　首项为a为的连续k个正整数之和为　　　　　　．　　由Sk≤2000，可得60≤k≤62．　　当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；　　当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；　　当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953．　　于是，题中的n有6个． 8．复数(12+5i)2(239-i)的辐角主值是_________. 解析： ．　　z的辐角主值　　　　argz=arg［(