2013年高考数学一轮复习 第四篇 三角函数、解三角形 第3讲 三角函数的图象与性质教案 理 新人教版.doc

　　第3讲　三角函数的图象与性质 【2013年高考会这样考】 1．考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用． 2．考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用． 【复习指导】 1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质． 2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用． 基础梳理 1．“五点法”描图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 　　函数 性质　　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x|x≠kπ＋，kZ} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(kZ) 对称中心： (kπ，0)(kZ) 对称轴：x＝kπ(kZ) 对称中心： 无对称轴 对称中心：(kZ) 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间 ，2kπ＋(kZ)；单调减区间，2kπ＋(kZ) 单调增区间[2kπ－π，2kπ](kZ)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](kZ) 单调增区间，kπ＋(kZ) 奇偶性 奇 偶 奇 两条性质 (1)周期性 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos，xR(　　)． A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案　C 2．函数y＝tan的定义域为(　　)． A. B. C. D. 答案　A 3．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)． A．f(x)在单调递减 B．f(x)在单调递减 C．f(x)在单调递增 D．f(x)在单调递增 解析　f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x) ＝f(x)可知f(x)为偶函数，因此φ＋＝kπ＋(kZ)，又|φ|＜可得φ＝，所以f(x)＝cos 2x，在单调递减． 答案　A 4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)． A．(－π，0) B. C. D. 解析　y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(kZ)，令x－＝kπ(kZ)，x＝kπ＋(kZ)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是. 答案　B 5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos的最小正周期为________． 解析　T＝＝π. 答案　π　　 考向一　三角函数的定义域与值域 【例1】(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域． (2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值． [审题视点] (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围． (2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决． 解　(1)依题意 ?. (2)设sin x＝t，则t. ∴y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，t， 故当t＝，即x＝时，ymax＝， 当t＝－，即x＝－时，ymin＝. (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： 形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； 形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【训练1】 (1)求函数y＝的定义域． (2)已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．