2-1-收敛数列的定义.pptVIP

* * 一、概念的引入 引例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正6?2n-1边形面积, ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ? . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n??时, An的变化趋势. 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 二、数列的定义 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 木棒其长度组成的数列为 , 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 目标不惟一！！！！！！！！！！！！ 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 几何解释: 其中 OK! N找到了！！ nN 目的： NO, 有些点在条形域外面！ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● N e 越来越小，N越来越大！ 注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 例2 例3 证明 为正整数 ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 例4 例5 ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 例6 证明 例7 证明 注 ①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε 定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给 ε＞0标志着“要多小”的要求，用n ＞N表示n充分 大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数 N，30，不等式|xn－a|＜ε（n ＞N） ②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意 性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通 过ε的相对固定性来实现）。 ③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。 在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε n ＞ N ④定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面 一串不等式 都成立， 而对 则不要求它们一定成立 定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0） 命题1 的极限为n = 是无穷小量. 变量有极限 的充要条件为它可分解为 加一个无穷小量。 命题2 无穷小量加绝对值仍为无穷小量。 命题3 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 命题4