2-第七章--数学物理方法.pptVIP

* * * * 四 热传导方程 2 能量守恒定律和热传导定律 1 热学问题：温度u(x,t)是根本量 q是单位时间流过单位面积的热量(热流强度）；k为导热率，与材料有关，温度范围不大时，视为常数 分析： x x+dx x 热流 (1) dt时间内小段dx温度升高所需热量 dt很小 内无热源，二者相等 一维热传导方程 若杆内有热源，热源密度（单位时间单位体积放热量）为f, 则方程变为 (2) dt时间内流入小段dx热量： (1) dt时间内小段dx温度升高所需热量 一维热传导方程 三维热传导方程 五 扩散方程 2 扩散定律 1 浓度u(x,y,z,t)是根本量 q是单位时间流过单位面积的粒子数(扩散流强度）；D为扩散系数。 dx dz dy x z 可写成分量形式 体内浓度的变化取决于穿过它表面的扩散流，单位时间内x方向净流入粒子数： 同理，单位时间内y，z方向净流入粒子数分别为： 根据粒子数守恒：单位时间内增加的粒子数（浓度*体积对时间的变化率）等于单位时间流入的粒子数 输运方程 六 泊松方程 在充满了介电常数为ε的电解质，电荷的体密度为ρ(x,y,z) ，研究该区域的静电场。 势函数u(x,y,z)是根本量, 在所研究的区域中，任作一闭合曲面s，围出一空间τ，由高斯定理： 泊松方程 若所讨论区域无电荷，则为 当时间足够长，达到稳定状态，ut=0 泊松方程 对于扩散方程 拉普拉斯方程 浓度的稳定分布方程 1)双曲型方程（Hyperbolic Equation）：以波动方程为代表的方程 它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声波、电磁波的传播规律 一 均匀弦的微小横振动 二 均匀杆的纵振动 三 均匀薄膜的微小横振动 四 电磁波方程* 小 结 2）抛物型方程（Parabolic Equation）： 以热传导方程（或输运方程）为代表的方程 它主要描述扩散过程和热传导过程所满足的规律 五 扩散方程 四 热传导方程 双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的，有时也称为发展方程 3）椭圆型方程（Elliptic Equation） 以泊松方程为代表的方程 退化为拉普拉斯方程 它是描述物理现象中稳定(或平衡状态)）过程规律的偏微分方程，在物理现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律。 静电场中的高斯(Gauss)定律 扩散定律（斐克（Fick）定律） 牛顿（Newton）冷却定律 热传导的傅里叶定律 胡克（Hooke）定律 牛顿（Newton）第二定律 F=ma 张应力=杨氏模量×相对伸长 流入小体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率?u/?n成正比 单位时间内扩散流过某横截面的杂质量m和浓度梯度?u/?n成正比 单位时间内从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比 常用物理定理 例1 长为 l 的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。 X Y x x+dx 解：如图选坐标系，由于惯性离心力的作用，绳内各处受力不同，x处的水平拉力为 竖直方向： 竖直方向： 例2 混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”放热速率正比于当时尚存的水化热密度θ，即 。试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。 解：浇灌后混凝土中在初始时刻存储的水化热密度为θ0，则t 时刻存储的水化热密度为： T时刻放热速率 以dv=dxdydz为研究对象，由于混凝土中放出水化热，则在dv中存在热源，即在单位时间内于单位体积内放出的热量为 在单位时间内流入dv中的净热量为： 考虑dv中有热源，则在单位时间内dv热量的增加为 ① 又由热力学第一定律，在单位时间内在dv内净增加的热量可表示为 ② ①=② 例3 积分 T1 T2 x a2 a1 u T1 T2 x a2 a1 u §7.2 定解条件 一 初始条件 ： 定义： 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布 2 初始条件的特征： 偏微分方程对时间导数的阶数对应于初始条件中的数目 一阶含时偏微分方程，有一个初始条件 二阶含时偏微分方程，有两个初始条件 *