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第25讲 三角恒等变换 主要内容 聚焦重点：两角和与差的三角函数 基础知识 基础知识 问题研究 经典例题1 思路分析 求解过程 思路分析 求解过程 回顾反思 廓清疑点：如何确定角的范围? 问题研究 经典例题2 思路分析 思路分析 思路分析 求解过程 回顾反思 破解难点：三角变换中化异为同． 问题研究 问题之一 经典例题3 思路分析 求解过程 思路分析 求解过程 回顾反思 问题之二 经典例题4 思路分析 求解过程 问题之三 总结提炼 再　　见 同步练习 参考答案 思路3： 注意角的变换，利用 直接求值． 解(思路3) （2）数学思想：化归思想、整体思想． （3）方法比较 　　 思路2运算量较大，但更能体现通性通法； 　　 思路3强调角的代换，运算量小． （1）解题关键：仔细观察结构特征，寻求已知 与目标的差异，选择公式变形与求解． 三角恒等式的证明问题中如何消除差异，寻求切入点 ？ 求证：　 例4 已知　 思路1：消元思想，将一个变量用另一个变量表示． 思路2： 由条件通过将已知角变形为结论中的角，推导结论成立. 将结论式中的一边向另一边转换. 思路3： 难以实现！ 不适合！ 求证：　 例4 已知：　 求证：　 例4 已知　 证明： 思路3 思路1：受代数式变换的思维定势的影响． 回顾反思 思路3：适用于条件式与结论式结构类似的问题．　 思路2：适用于待证等式两边结构繁简差异明显 的问题． 1．思路回望 3．思想方法：转化思想、整体思想． 2．解题关键：消除差异（角、名称、结构）， 整合结构 如何探求三角函数化简问题的突破口？ 1．项数尽可能少; 2. 名称尽可能少; 3．次数尽可能低; 4．分母尽可能不含三角式; 5．尽可能不带根号; 6．能求出值的求出值. 基础知识 统一角的形式 统一函数的名称 整合简化结构 突破口与切入点 降幂 化简三角函数式的目标 经典例题5 思路1： 从“角”入手，复角变单角． 思路分析 思路2：从“名”入手，异名化同名． 思路3：从“幂”入手，化同次． 思路4：从“结构”入手，配方． 思路1 从“角”入手，复角变单角 求解方法 思路2 从“名”入手，异名化同名 求解方法 化同名 化单角 思路3：从“幂”入手，化同次 求解方法 思路4 从“结构”入手，配方 求解方法 思路1： 从“角”入手，简化或统一 回顾反思 思路2：从“名”入手，异名化同名 思路3：从“幂”入手，异次化同次 思路4：从“结构”入手，整合代数式 知识与内容 一、聚焦重点　 两角和与差的三角函数． 二、廓清疑点 求三角函数值时角的范围的讨论． 三、破解难点 三角变换中化异为同． 策略与方法 总结提炼 1．细心分析题意，明确思维方向． 2．合理选择公式，强化目标意识． 3．科学实施变换，提高解题效益． 2. 求下列各式的值： 4. 求证： 的两个根，求 ? + ?的值. 是一元二次方程 3. 设 化简： 1. 江苏省南通中学 一、聚焦重点 两角和与差的三角函数. 二、廓清疑点 求三角函数值时角的范围的讨论． 三、破解难点 三角变换中化异为同． 1．两角和与差的余弦 2．两角和与差的正弦 3．两角和与差的正切 同名异号 异名同号 分子同号 复角 单角 二倍角公式 降幂公式 ， 倍角 单角 一次 二次 怎样利用和角、差角、倍角公式化简三角函数式？ 目标： 消去非特殊角 策略： 配凑转化 工具： 两角和与差的余弦公式 40°=60°－20° 80°=60°＋20° 思路1 此思路不能获得精确值，不妥! 思路2 易错点 易错点 思路1 角的配凑与转化 计算繁琐，难以实现目标． 思路2 结构的配凑与转化 原式 逆用公式 解 原式 诱导公式注意符号 结构配凑 注意系数 思路分析 思路1 根据倍角关系转化． 不适合！ 原式 思路分析 角的特征： 思路2 结构特点： 利用两角之和为特殊角转化． 求解过程 解法1 变用公式 求解过程 解法2 “ ”的代换 添项配凑，调整结构 求解过程 解法3 （1）思想方法：化归转化，整体代换． （2）思维策略：合理配凑，活用公式． （4）思维瑕点：误记公式，符号出错． （3）思维误区：目标不清，盲目变形． 求三角函数值，当涉及到确定角的范围时，该如何研究与讨论？ 例 2 已