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第3章 机械故障诊断的时序模型分析方法 3.1 时间序列模型结构特征 3.2 自回归模型的参数、阶次的确定 3.3 自回归谱的概念和应用 3.4 设备状态变化趋势性及预测 3.1 时间序列模型结构特征 3.1.1 机械设备运行过程数据序列的特点 离散的时间序列：{xk, k=1,2,...，N ｝： （1）时间序列是平稳或可近似认为是平稳的随机离散信号； （2）产生这一随机时间序列的原因无法确知； （3) 对时间序列的分析，由于机械系统相互偶合作用变得十分复杂。 3.1.2 时序模型的概念 设： {yk}(k=1,2,...，N)，E yk =?y≠0为平稳时间序列。 令 xk= yk - ?y ，序列{xk}(k=1,2,...，N)，E xk =?x=0，仍是平稳时间序列。 1. 自回归模型AR(m) 任何一个时刻k上的数值xk可表示为过去m个时刻上数值的线性组合加上k时刻的白噪声： xk = ?1 xk-1+ ?2 xk-2 +...+ ?m xk-m + ak (3.1) 式中：{ak}(k=1,2,…)--白噪声， 且Eak=0，Dak=?a2 (0?∞), E ak ai =0(k≠i) 。 m--阶次； 常数系数?i(i=1，2，...，m)称为自回归系数，且m0,?m≠0。 2. 滑动平均模型 MA(n) xk可表示为白噪声{ak}在 k时刻和k时刻以前n+1个时刻上数值ak-1， ak-2，...，ak-n的加权和，或者说滑动和的形式： xk = ak -?1 ak-1 - ?2 ak--2-...-?n ak-n (3.2) 式中：常数n叫做阶次； 常数系数?I (i=1，2，...，n)称为滑动平均 系数，且n 0, ?n≠0。 3．自回归滑动平均模型ARMA(m,n) 线性差分方程 xk -?1 xk-1- ?2 xk-2 -...- ?m xk-m = ak -?1 ak-1 - ?2 ak--2-...-?n ak-n (3.3) 其中：m0, n0， ?m ≠0, ?n ≠0； 常数m，n--自回归滑动平均模型的阶次。 自回归滑动平均模型的含义是：在时刻k的输出xk是系统在k时刻前的m个输出xk-1，xk-2 ，...，xk-m与由k- n到k时刻中n+1个互相独立的白噪声输入的线性和。 模型转换 在ARMA(m,n)(3.3)式中取m0, n= 0，变成AR(m)(3.1) 式；如果取m= 0, n0，(3.3)式又变成MA(n)(3.2)式； 自回归滑动平均模型是较一般的模型，自回归模型和滑动平均模型是它的特殊形式。 自回归模型可以逼近ARMA模型。 ak是系统的白噪声输入，xk是系统的输出 对式(3.3)的等式两端进行z变换，由自谱密度和传递函数的关系： Sx=|H(z)|２Sa ， 3.2 自回归模型的参数、阶次的确定 3.2.1 AR模型参数的最小二乘方估计 AR(m)模型 xk = ?１xk-1+ ?2 xk-2 +...+ ?m xk-m + ak ak ~ NID(0, ?a2) 参数估计：根据观测数据{xk}(k=1,2,...，N )，估计出?i (i=1，2，...，m)和?a2 这m+1个参数。 ak = xk-?1xk-1+ ?2 xk-2 +...+ ?m xk-m ?a2是模型残差序列{ak }的方差，故有 估计出?i (i=1，2，...，m) ，即可按上式估计?a2 。 1．几个基本命题 (1) 当k≠j 时，Eakaj=0，即在不同时刻，ak是相互独立的，ak与ak-1, ak-2...均不相关； (2) ak的分布是正态的，即 ak ~ NID(0, ?a2)； (3) 当j0时，E xk-jak=0，即ak与xk-1，xk-2，...均不相关，这从基本命题(1)，即可看出。 2. 样本自相关函数 平稳序列{xk}（k=1,2,...，N ），因为E xk =0，所以自相关函数和自协方差函数相同，为 ， k=0,1,2, ...,