第3章-聚合风险模型1.pptVIP

在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相互独立，即（N与X1， X2，… Xn） 这对于汽车保险行业来说就多少有些不妥了，例如恶劣的天气条件会导致大量的小理赔.不过，在实际中这些现象的影响是很小的。 聚合风险模型中，个体风险可以出现多次，各个风险是独立同分布的，即 （X1， X2，… Xn）独立同分布。 理赔发生应该是一个“稀有事件”。 泊松分布，负二项分布是较好的选择。 复合泊松分布 Panjer 递推 复合分布的近似 个体和聚合风险模型 考虑n个一年期寿险保单． 第i个被保人在年内死亡的概率为qi ． 如果第i个被保人在年内死亡则保险公司应支付理赔 bi ． 建立一个聚合模型来近似所有保单产生的总损失和总收益． 3.8 几个理赔额分布的参数族 例3.5.4 （Panjer 递推与停止损失保费） 对于一个整值随机变量S , 其值整取自留额的停止损失保费可以表示为（见1.4节）: 既然停止损失保费的右导数满足 而按照自留额所在的区间分布函数取常数值，故停止损失保费是逐段线性的．当d 取非整数值时停止损失保费的计算可以通过插值法来完成． 利用Panjer 递归法，停止损失保费也可以通过递归求得．事实上，由（3.34）的后一式，对整数d, 作为一个例子，我们取复合Poisson(1)分布,其中 于是Panjer递推公式（3.31）可以被简化为 初始值为 计算结果： 注3.5.5 (Panjer递推式的基于概率母函数的证明）Panjer递推还可以通过概率母函数来证明．对于复合泊松分布，我们可以证明如下．首先， 因为 比较 的系数，我们有 如何用Panjer递推公式计算卷积??? 上中的S是 个独立同分布的随机变量的和，我们可以直接应用中心极限定理．注意到在上面取 为整数值的做法是不失一般性的，这是因为当很大时对应的分数部分的影响是可以忽略不计的. 记 为理赔额分布的k阶矩，对于复合泊松分布，我们有 我们知上式 的系数即为所需要的半不变量 为使用近似方法，我们需要S 的半不变量． 偏度 在个体模型中，考虑理赔总额 第3章 聚合风险模型 本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体.记 3.1 引 言 其中N 表示理赔次数， 表示第i个理赔额． 此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0. 这样的模型称为聚合风险模型！ （1）由（3.1）给出的S 具有一个复合分布。 （3）利用给定N 之下S 的条件分布，可以计算S 的期望值． （2）记： （4）总理赔额的方差可以由条件方差的公式得到。 （5）同样技巧可以求出总理赔额S 的矩母函数。 例3 . 2 . l （分布函数具有封闭形式的复合分布） 设N 服从参数为p 的几何分布，0 p 1 , X 服从参数为1 的指数分布，那么S 的分布函数是什么？ 记 ．我们首先来计算S 的矩母函数，然后尝试通过得到的矩母函数来确定该复合分布．当（ 即 ）时，有 由 知 由分布函数与矩母函数之间的一一对应关系得到S 的分布函数也具有同样的形式：这是一个混合分布。 这是一个在0点有跳度p 而在其它处为指数型的分布函数． 直接代入计算 利用给定N = n 之下S 的条件分布，可计算分布F : 因此 当选取的X 为某些特殊的随机变量时，n重卷积比较容易计算，如正态分布和伽玛分布。 卷积的分布为： 理赔次数的分布 泊松分布P(λ) 负二项分布N(r,p) 设Λ的分布函数为 ，则N 的分布为 N 的期望和方差分别为 现在再假设 ， 注意到 的矩母函数是 于是S 的矩母函数为 这是一个参数为 和 的负二项分布的矩母函数． 证明 记 为 的矩母函数，则S的矩母函数为 故S是一个复合泊松随机变量. (1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布． 是一个复合泊松变量，参数为 定理3.4.2（逆命题） 设S的形式如下： 服从复合泊松分布，其中参数为 ，理赔分布是一个离散型分布，满足 则： 例3.4.3（应用：稀疏向量算