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第九章 二重积分习题课 多 元 函 数 的 积 分 学 ②二重积分的计算 ③二重积分的应用 知识结构 ①二重积分的概念 第九章 二重积分习题课 主要内容与重点： 一.二重积分的概念、性质及几何意义 二.二重积分的计算方法及应用 常见题型： 一.二重积分的计算 1.二重积分在直角坐标系下的计算问题 二.积分次序的交换问题 2.二重积分在极坐标系下的计算问题 三.二重积分的应用 第九章 二重积分习题课 一.二重积分的概念及性质及几何意义 可加性、 数乘法、 区域的可加性、 第九章 二重积分习题课 单调性、 估值定理、 中值定理 1.概念 2.性质 3.几何意义 根据积分区域D的图形和被积函数f (x,y)的特点 化二重积分为二次积分或累次积分 选择坐标系 选择积分次序 选择积分限 计算累次积分 第九章 二重积分习题课 二.二重积分的计算 (二)二重积分在极坐标系下的计算 (一)二重积分在直角坐标系下的计算 只研究先对r后对θ的积分次序 第九章 二重积分习题课 二.二重积分的计算 ?型区域 （极点O在区域D的外部） （极点O在区域D的边界上） （极点O在区域D的内部） x o D x o D x o D (二)二重积分在极坐标系下的计算 二.二重积分的计算 在化二重积分为二次积分时， 确定二重 积分的积分次序和积分上下限是最关键的 步骤， 此时可交换积分次序。 难积分或根本积不出， 另外两个二次积分可能有一种次序 第九章 二重积分习题课 二.积分次序的交换问题 三.二重积分的应用 1、求平面图形的面积 2、求几何体的体积 第九章 二重积分习题课 总量的数学模型 3、求实际问题的总量 2（1） 将积分区域看作 则积分限为 解 作业讲评 第九章 二重积分习题课 P365 5.改换下列二次积分的积分次序: 解 第九章 二重积分习题课 则积分限为 （5） （5） 解 第九章 二重积分习题课 5.改换下列二次积分的积分次序: 解 11.把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值: 第九章 二重积分习题课 （1） x o P233递推公式 (1)计算 其中D是由 所围成的区域. 解 13.选择适当的坐标计算下列各题: 第九章 二重积分习题课 选择直角坐标 解 x y o 体积为 第九章 二重积分习题课 解：积分区域D如图 =14080（万元） 试计算该市总的税收收入. 第九章 二重积分习题课 例 解 先去掉绝对值符号，如图 第九章 二重积分习题课 由区域的对称性和 函数的奇偶性可得 o x y D 解 例 二重积分在极坐标下的计算 例 解 第九章 二重积分习题课 练习计算 其中D是由不等式 解 曲线 的极坐标方程为 曲线 的极坐标方程为 r =2. x y o 第九章 二重积分习题课 解答 思考题 解答: 思考题 思考题 测 验 题 3 . 当 D 是 ( ) 围成的区域时 , 二重积分 òò D dxdy =1. (A) x 轴 , y 轴及 0 2 2 = - + y x ； ( B) 3 1 , 2 1 = = y x ； (C) x 轴 , y 轴及 3 , 4 = = y x ； (D) . 1 , 1 = - = + y x y x 4 . òò D xy dxdy xe 的值为 ( ). 其中区域为 D 0 1 , 1 0 ￡ ￡ - ￡ ￡ y x . (A) e 1 ； (B) e ； (C) e 1 - ； (D) 1 . 测 验 题 测 验 题 测 验 题 测 验 题 测验题答案 下次课内容 第十章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程